Journal of NeuroEngineering and Rehabilitation, 2005; 2: 24-24 (más artículos en esta revista)

Fraccional Langevin modelo de la variabilidad de andar

BioMed Central
Bruce J Occidental (bruce.j.west @ us.army.mil) [1], Miroslaw Latka (mlatka@poczta.onet.pl) [2]
[1] sobre la Información y Ciencias Matemáticas Dirección EE.UU. Oficina de Investigación del Ejército, PO Box 12211 Research Triangle Park, NC 27709, EE.UU.
[2] Departamento de Física de la Universidad de Wroclaw Tecnología Wybrzeze Wyspianskiego 27, 50-370 Wroclaw, Polonia

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Resumen

El intervalo de paso de andar en humanos sanos fluctúa desde el paso a paso de un modo aleatorio y la ampliación de la serie interstride intervalo de tiempo anterior motivado a los investigadores a la conclusión de que esta serie de tiempo es fractal. Los primeros estudios sugirieron que es un paso monofractal proceso, pero el trabajo más reciente indica que la serie temporal es débilmente multifractal. Aquí se presentan pruebas adicionales de la naturaleza débilmente multifractal de andar. Utilizamos el intervalo de paso de series de tiempo obtenidas de diez adultos sanos caminando a un ritmo normal relajado durante aproximadamente quince minutos cada uno, como nuestro conjunto de datos. Fraccional de Langevin ecuación se construye el modelo subyacente al sistema de control de motor en el que el orden de la derivada fraccional es en sí mismo una cantidad estocástica. El uso de este modelo se encuentra la dimensión fractal para cada uno de los diez conjuntos de datos a estar de acuerdo con los análisis anteriores. Sin embargo, con el actual modelo estamos en condiciones de sacar conclusiones adicionales sobre la naturaleza del sistema de control de orientación a pie. El análisis presentado aquí sugiere que la observada en la expansión interstride intervalo de los datos pueden no ser debidos a la memoria a largo plazo solo, pero puede, de hecho, se debe en parte a las estadísticas.

Antecedentes

Una de las estrategias para la comprensión de la locomoción patas de los animales es a través de la utilización de un generador central de patrones (CPG), una red de neuronas intraespinal capaz de producir un sincopado de salida [1]. El supuesto implícito en esta interpretación es que una extremidad se mueve en proporción directa a la tensión generada en una parte específica de la CPG. Como Collins y Richmond [1] señala, a pesar de los estudios se establece la existencia de una GPC en el sistema nervioso central de los cuadrúpedos, por ejemplo, pruebas directas no existe para un vertebrados CPG patas para la locomoción. Por consiguiente, estos y otros autores se han dedicado a la construcción de modelos, basados en el acoplamiento de los osciladores lineales y no lineales, a fin de establecer que los modelos matemáticos son suficientemente sólidas para imitar la locomoción características observadas en los movimientos de segmentado bipeds [2], Así como en los cuadrúpedos [3]. Estas características, tales como la conmutación entre múltiples patrones de andar, se muestra para no depender de la dinámica detallada de los elementos constitutivos osciladores no lineales, ni en su oscilador de acoplamiento entre las fuerzas [1]. Un modelo estocástico no lineal de la dinámica de los humanos de andar a motor sistema de control llamado super CPG (SCPG) se ha desarrollado [4]. En el intervalo de paso SCPG la serie de tiempo, se muestra ligeramente multifractal, con una dimensión fractal que es sensible al estrés fisiológico. Aquí no se centran en la generación de cada uno de los pasos al caminar, sino que se analiza la variación de los sucesivos pasos y su estructura subyacente.

Se ha conocido por más de un siglo que hay una variación en el intervalo de paso de los seres humanos durante la caminata de aproximadamente 3-4%. Esta variabilidad al azar es tan pequeña que la biomecánica comunidad históricamente ha considerado estas fluctuaciones no es un proceso aleatorio, como podría ser el resultado de una simple caminata aleatoria. En la práctica esto significa que las fluctuaciones de andar se pensaba que no contiene ninguna información útil sobre el proceso de control de motor subyacente. Por otra parte, Hausdorff et al. [5, 6] demostraron que paso intervalo de tiempo de exposición de la serie desde hace mucho tiempo correlaciones, y sugirió que el fenómeno de a pie es un fractal auto-similar actividad. Estudios posteriores por Occidente y Griffin [7 - 9] apoyo a estas conclusiones completamente diferentes utilizando un protocolo experimental para generar el intervalo de paso de los datos de series de tiempo y muy diferentes métodos de análisis. Se llegó a la conclusión de que las cosas no son tan simples, sin embargo, y en lugar del proceso que no tengan carácter escala de tiempo, como sería el caso de una monofractal, existe una preferencia por un multiplicativo escala de tiempo en el sistema de control fisiológico [7] .

Fisiológicas series de tiempo invariablemente contener las fluctuaciones de manera que cuando la muestra N veces el conjunto de datos X j (), j = 1 ,..., N, parecen ser una secuencia aleatoria de los puntos. Ejemplos de estos datos son los intervalos interbeat del corazón humano [10, 11], interstride intervalos de andar humanos [5, 9], el cerebro ola datos de EEG [12] y interbreath intervalos [13], por nombrar algunos. El análisis de las series de tiempo en cada uno de estos casos se ha hecho uso de caminata aleatoria conceptos tanto en el análisis de los datos y en la interpretación de los resultados. Por ejemplo, la media del valor de plaza de la dinámica variable en cada uno de estos casos (y muchos más) tienen la forma <X (t) 2> t α δ, donde δ ≠ 1 corresponde a la "difusión anómala". Un valor de δ <1 es a menudo interpretado como un antipersistent proceso en el que un paso en una dirección preferente es seguido por un paso inversión. Un valor de δ> 1 es a menudo interpretado como un persistente proceso en el que un paso en una dirección preferente es seguido por otro paso en la misma dirección. Un valor de δ = 1 es, de nuevo, a menudo interpretada como la difusión ordinaria en la que los pasos son independientes entre sí. El análisis inicial de cada una de estas series de tiempo, utilizando conceptos caminata aleatoria, sugirió que podrían ser interpretados como monofractals. Sin embargo, una investigación más a fondo sobre la variabilidad del latido cardíaco ha demostrado ser multifractal [14], al igual que la interstride intervalos [4].

Un enfoque complementario para el modelado de paseos al azar es la ecuación de Langevin, una ecuación estocástica de la dinámica de movimiento de las variables en un sistema físico. Este último modelo ha sufrido una transformación similar a la de los paseos al azar desde su introducción en la física en 1908 por Langevin. La solución de la ecuación de Langevin es una fluctuante trayectoria de la partícula de interés, y un conjunto de tales trayectorias determina la función de distribución estadística. De esta forma, la densidad de probabilidad de Gauss movimiento Browniano se obtiene. La densidad también se puede obtener de la agregación de los pasos para formar una discreta trayectoria utilizando un modelo de caminata al azar [15, 16]. Estos dos tipos de modelos del mundo físico, paseos al azar y la ecuación de Langevin, han sido desde hace mucho tiempo cree que ser equivalente. De hecho, la equivalencia que se ha utilizado como base la dinámica de la termodinámica y mecánica estadística. Esta equivalencia se ha utilizado también para interpretar el monofractal propiedades estadísticas de series de tiempo fisiológico.

Si bien las propiedades de monofractals se determinarán por el exponente de escala mundial, existe una clase más general de señales heterogéneo conocido como multifractals que se componen de muchos subconjuntos entrelazadas con diferentes exponentes de escala local h. Las propiedades estadísticas de estos subconjuntos puede ser caracterizado por la distribución de las dimensiones fractales f (h). Con el fin de describir las propiedades de escalamiento de las señales multifractal es necesario utilizar muchos exponentes Hölder local. Formalmente, el exponente de Hölder h (t 0), de una trayectoria X (t) en t = t 0 se define como el mayor exponente de este tipo que existe un polinomio P n (t) de orden n que satisface la condición siguiente [17] :

Para t en un barrio de t 0 y el símbolo O (ε) se entiende un término no mayor de ε. Por lo tanto, el exponente de Hölder medidas de la singularidad de una trayectoria en un punto dado. Por ejemplo, h (t 0) = 1,5 implica que la trayectoria X es diferenciable en t 0, pero no es su derivado. La singularidad radica en la segunda derivada de X (t). La singularidad del espectro f (h) de la señal puede ser definida como la función que para un valor fijo de h rendimientos de la dimensión de Hausdorff del conjunto de puntos t. La singularidad del espectro se utiliza para determinar si el intervalo de paso de series de tiempo es multifractal.

Un nuevo tipo de caminata aleatoria recientemente se ha desarrollado, una de ellas con propiedades multifractal [18 - 21]. Aquí nos guiamos por esta labor anterior, pero la utilizaremos para generalizar la ecuación de Langevin para describir un fenómeno dinámico multifractal. Métodos en el que se revisan formalismo multifractal y aplicar el algoritmo para procesamiento de la interstride intervalo de series de tiempo. La masa exponente τ (q) está decidida a ser una función no lineal del momento q, y la singularidad del espectro f (h) se encuentra a ser una convexa de la función h exponente de escala local. También introducir una ecuación fraccionaria Langevin y que el índice sea de un integrante fraccional una variable aleatoria para mostrar cómo este modelo puede describir un proceso multifractal. El espectro multifractal se muestra una propiedad de la solución a esta ecuación de Langevin fraccional. En Resultados y Disscussion aplicamos la expresión analítica de la singularidad del espectro a la interstride intervalo de los datos examinados en la sección Métodos. El acuerdo entre las predicciones de la ecuación de Langevin y fraccional experimento para andar humanos es notable. Conclusiones En exploramos algunas de las consecuencias fisiológicas de la fraccional Langevin modelo incluyendo la sugerencia de que la ampliación observada de la serie temporal no sólo puede ser debido a la memoria de largo plazo, pero a las estadísticas también.

Métodos

La distribución de los exponentes Hölder para una serie de tiempo se puede determinar en una serie de diferentes maneras. Aquí utilizamos la función de partición. Vamos a cubrir el eje temporal con células de tamaño δ tal que el momento está dado por t = N δ y N>> 1. Tras Falconer [17] podemos definir la partición de la función en términos de los momentos, q, de una medida μ

B donde j es el j ª casilla en la δ-coordinar malla que se entrecruzan con la medida μ. Podemos construir la medida utilizando la serie histórica obtenida de la interstride intervalo de los datos. Esta medida es realizada por un total de la observada interstride intervalos de tiempo, t j, j = 1,2 .., N,

Tal que T (n, δ) se interpreta como la caminata aleatoria trayectoria para un determinado conjunto de datos. Utilizamos la caminata al azar para construir la trayectoria fenomenológica medida en función de la partición (2) como

Donde el entero n es el tiempo que transcurre discreto. Para una caminata aleatoria monofractal proceso de la medida (4) es esencialmente uniforme. Para un multifractal, por otra parte, el comportamiento teórico ampliación de la función de partición q S (δ) en el límite de la desaparición de la red escala [17, 24] es

S q (δ) ≈ δ - τ (q) (5)

Donde τ (q) se define la masa exponente. Hacemos hincapié en que (4) es una medida fenomenológica con un desfase de tiempo indeterminado. El tiempo que transcurre es elegido en el presente cálculo para maximizar la sensibilidad de la función de la partición de los momentos positivos.

El exponente de la masa está relacionada con la dimensión generalizada D (q) por la relación

Τ (q) = (1 - q) D (q) (6)

Donde D (0) es el cuadro de fractales o de cómputo dimensión, D (1) es la dimensión de información y D (2) es la dimensión de correlación [24]. En el momento en q, por tanto, acentúa los diferentes aspectos de la dinámica subyacente. Para q> 0, la función de partición q S (δ) hace hincapié en las grandes fluctuaciones y una fuerte singularidades a través de la generalizada dimensiones, mientras que para q <0, la partición hincapié en la función de las fluctuaciones de los pequeños y los débiles singularidades. Esta propiedad de la partición función merece una nota de advertencia, porque la negativa momentos puede fácilmente convertirse en inestable, la introducción de artefactos en el cálculo. Por esta razón, la interpretación de la trayectoria enfoque debe ser juzgado con cierta precaución para q <0.

Un monofractal series de tiempo se puede caracterizar por una sola dimensión fractal. En general, las series de tiempo tienen un local fractal h exponente que varía en el transcurso de la trayectoria. La función f (h), llamado el espectro multifractal o singularidad, describe cómo el local fractal exponentes contribuir a esa serie de tiempo. Aquí f y h son variables independientes, como se q y τ. El formalismo general de Legendre transformar pares relaciona estos dos conjuntos de variables de la relación, utilizando los signos convencionales en Feder [24],

F (h) = qh + τ (q). (7)

El exponente local Hölder h varía con la q dependen de la masa exponente a través de la igualdad

Por lo que la singularidad del espectro puede escribirse como

F (h (q)) = - q q τ τ '(q) + τ (q) (9)

Donde τ (q) está determinada por los datos, es decir, por la trayectoria, como es su derivado τ '(q).

El comportamiento multifractal de series de tiempo pueden ser modelados utilizando un número de diferentes formalismos. Por ejemplo, una caminata aleatoria [19, 23], en el que un coeficiente multiplicativo en la caminata aleatoria es en sí mismo hizo al azar, se convierte en un proceso multifractal. Este enfoque se desarrolló mucho antes de la identificación de fractales y multifractals y se pueden encontrar en el libro de Feller [25] en la partida de los procesos de subordinación. El multifractal paseos aleatorios se han utilizado para modelar diversos fenómenos fisiológicos. Otro método, que entraña la participación de un integrante del núcleo con un parámetro aleatorio, se utilizó el modelo de flujo de fluidos turbulentos [26]. En este sentido, adoptar una versión de la integrante del núcleo, pero una vez adaptado al espacio en lugar de la serie. A fin de lograr esto revisamos algunos de los antecedentes de la ecuación de Langevin.

Fraccional Langevin ecuación

Un teórico Langevin ecuación es generalmente de un modelo de Hamilton para un simple sistema dinámico, junto con el medio ambiente [27]. Las ecuaciones de movimiento para el sistema acoplado se manipulan a fin de eliminar los grados de libertad del medio ambiente a partir de la descripción de la dinámica del sistema. Sólo el estado inicial del medio ambiente (baño de calor) se mantenga en la descripción Langevin, donde el carácter aleatorio de la fuerza motriz se inserta a través de la elección de la distribución de los estadios iniciales de la bañera. La ecuación más simple Langevin para un sistema dinámico abierto en el medio ambiente tiene la forma

Donde ξ (t) es un proceso aleatorio, λ es un parámetro de disipación y existe una fluctuación-disipación relación [27] que conecta las dos. Por supuesto, no podemos interpretar por completo (10) hasta que especificar las propiedades estadísticas de las fluctuaciones ξ-y para ello necesitamos conocer el entorno del sistema. El conductor es, por lo general al azar supone que ser un proceso de Wiener, es decir, disponer de estadísticas gaussiana y no de memoria.

Cuando el sistema depende de la dinámica de lo que ocurrió antes, es decir, el medio ambiente tiene una memoria, (10) ya no es suficiente y la ecuación de Langevin debe ser modificado. La ecuación generalizada Langevin toma en cuenta esta memoria a través de un término de la forma

Donde la memoria del núcleo, K (t), sustituye a la disipación de parámetros y existe un generalizado de fluctuación-disipación relación [27]. Ambas ecuaciones son Langevin monofractal si las fluctuaciones de los monofractal, es decir, la serie de tiempo dada por la trayectoria X (t) es un proceso aleatorio fractal, si ξ (t) es un proceso fractal aleatorio.

Ahora llegamos a la más reciente generalización de la ecuación de Langevin, que incorpora en la memoria dinámica del sistema mediante el uso de cálculo fraccional. El más simple fraccional Langevin ecuación tiene la forma [28]

Donde Es una de Riemann-Liouville (RL) derivada fraccional con 0 <β ≤ 1

Y está relacionada con la RL integral fraccional -

Tenga en cuenta que no hemos incluido en este disipación modelo sencillo, pero la condición inicial X 0 = X (0) se incorpora en la ecuación dinámica con el fin de tener una bien definida valor inicial problema. El oficial solución a la ecuación fraccionaria Langevin (12) es [28]

Donde en el núcleo (15) está dada por el factor de ponderación dentro de la RL-integral fraccional. Como se mencionó anteriormente, la forma de esta relación para multiplicativo procesos estocásticos y su asociación con multifractals se había señalado en el fenómeno de la corriente turbulenta de fluidos [26], a través de un espacio, en lugar de tiempo, la integración del núcleo.

Multifractal de series de tiempo

El azar obligando a término en la parte derecha de (15) es seleccionado para ser un cero centrada, gaussiana variable aleatoria y, por tanto, a escala como [29]

Ξ (t λ λ t) = λ ξ h (t) (16)

Donde el exponente de Hölder está en el rango 0 <h = 1. En forma similar en el núcleo (15) es fácilmente como se muestra a escala

K β (t λ λ t) = λ β β K-1 (t) (17)

De modo que la solución de la ecuación de Langevin fraccional como escalas

Δ Δ X X (t λ λ t) = h + λ β Δ Δ X X (t) (18)

Δ Δ X donde X (t) = X (t) - X 0. Con el fin de hacer la solución de la ecuación de Langevin fraccional un multifractal suponemos que el parámetro β es aleatoria. Para construir las tradicionales medidas de los procesos estocásticos multifractal calculamos el momento q ª de la solución por un promedio de más de la fuerza de azar y el azar ξ parámetro β de obtener, en una notación obvia,

Tenga en cuenta que cuando ζ (q), la estructura de la función exponente, q es lineal en el proceso subyacente es monofractal, mientras que, cuando ζ (q) q es no lineal en el proceso es multifractal. Este es el caso porque

Ζ (q) = 1 - τ (q) (20)

Relativas a la estructura a la función exponente exponente de masas [30].

Determinar la estructura de la función exponente que hacer una suposición acerca de las estadísticas del parámetro β. Siempre se puede escribir la media como β -

Donde Z (s) es una variable aleatoria, así como una función de s. Tenga en cuenta que en el presente caso, la funcionalidad es sólo una de proporcionalidad lineal. De esta forma, la expresión en la parte derecha de (21) es la transformación de Laplace de la densidad de probabilidad. Asumimos la variable aleatoria Z (s) es una α-Lévy estable proceso en el que caso de las estadísticas de la multiplicativo fluctuaciones son dadas por la distribución [15]

Con 0 <α = 2. Inserción (22) en (21) para sustituir el soporte y la integración de un promedio de más de z rendimiento de la función delta δ (k + iq), que, la integración de más de k, los resultados en

A fin de que vuelva a presentar s = ln λ en esta ecuación, obtenemos

Por consiguiente, de (20) se obtiene por el momento la función de correlación

Ζ (q) = qh - b | q | α (23)

Por lo tanto, la solución a la ecuación de Langevin fractal corresponde a un proceso monofractal sólo en el caso α = 1 y q> 0, de lo contrario el proceso se multifractal. Restringimos el resto de discusión para q> 0.

Así, se observa que cuando la memoria en el núcleo fraccional Langevin ecuación es al azar, la solución consiste en el producto de dos cantidades al azar dando lugar a un proceso estadístico multifractal. Esto es análogo a la subordinación de Feller proceso. Observamos que, para las estadísticas de la multiplicativo exponente Lévy dada por estadísticas, la singularidad del espectro en función de los momentos positivos, es

F (q) = 1 - (α - 1) bq α (25)

Que está determinada por la sustitución (24) en (9), a través de las relaciones entre los exponentes (20).

Resultados y Discusión

Los datos obtenidos, tanto de las personas caminar a un ritmo normal, consiste en el intervalo de tiempo para cada paso y el número de pasos en una secuencia de pasos. La extensión máxima de la pierna derecha, el "intervalo de calma" frente a la zancada número, trazarán en un gráfico, tiene todas las características de una serie de tiempo, cf. Figura 1. Hubo diez participantes en el estudio (cuatro hombres y seis mujeres), todos en buen estado de salud, sin lesiones agudas, de edades comprendidas entre los 20 a 46 años con una mediana de edad de 29 años. Normal constante caminar se vigila para los diez participantes, y un electrogoniometer se utilizó para recopilar datos sobre la cinemática angular extensión de la pierna derecha. La señal de la electrogoniometer se registró a 100 Hz por un ordenador que figura en una "camilo pank" adjunto al caminante. Estos datos fueron descargados a la PC después de doce a quince minutos, y el intervalo entre sucesivas prórrogas máxima de la pierna derecha de la señal analógica y digital se utiliza como la serie temporal de datos [7].

La señal se muestra en la figura 1 indica una variación en el intervalo de paso con una desviación estándar de 0,12 segundos, y la resolución de la medición es del orden de 0,01 segundos. ¿Qué podemos aprender de una serie temporal que tiene un potencial considerable error? Supongamos que nuestro tiempo consiste en la superposición de dos procesos independientes. Un proceso está determinado por la dinámica del sistema y la otra por error de medición, a fin de que el segundo momento de la serie histórica después de intervalos n viene dada por

<X (t) 2> = Un + Bn δ (26)

El primer proceso es, por supuesto, que, debido a error de medición, el modelo como una simple caminata al azar, con una fuerza. Para δ> 1 el segundo, es un proceso de persistente y domina caminata aleatoria para n> 1. En tal caso, podríamos esperar para n suficientemente grande, en donde el tamaño relativo de A y B, determina qué se entiende por lo suficientemente grandes, para encontrar el escalamiento

<X (t λ λ t) 2> ≈ λ δ <X (t) 2>. (27)

Esta ampliación es, de hecho, observó que los datos se muestra en la Figura 1, así como para las demás series de tiempo de andar obtenidos en este estudio [7 - 9]. De los resultados de estos análisis anterior llegamos a la conclusión de que el nivel de la variación estadística en los datos, debido al error de medición, no cambiarán las conclusiones extraídas del análisis posterior.

Como ya se ha mencionado, una serie de tiempo es cuando la masa monofractal exponente τ (q) es lineal en q, de lo contrario el proceso subyacente es multifractal. Aplicamos la partición función de medir y evaluar numéricamente

Y los resultados se muestra en la Figura 2 bis. Rigurosamente, la expresión de la masa requiere exponente δ → 0, pero no podemos hacerlo con los datos, por lo que existe algún error en nuestros resultados. La importancia de este error es que se determine. En la Figura 2 bis Google sólo muestra la masa de un típico exponente andador de los diez temas, ya que individualmente no tienen un aspecto muy diferente de la curva se muestra. Es evidente que, de la cifra que el exponente de masas no es lineal en el momento en q índice. En el cuadro 1 se registra el acondicionamiento de los coeficientes de cada una de las diez series de tiempo utilizando la ecuación de ajuste para la masa exponente sugerido por la solución de la ecuación de Langevin fraccional,

Τ (q) = 1 + a + a 1 q 2 | q | α. (29)

El ajuste a los datos utilizando (29) es indicado por la curva en la Figura 2 bis.

La singularidad del espectro ahora pueden ser determinados con base en la transformación de Legendre, al menos, dos métodos diferentes. Un procedimiento a utilizar es el adecuado sustituir en la ecuación (9). No lo hacemos aquí, pero, de paso, que si (29) se inserta en (8), la dimensión fractal es determinada por el momento en q = 0 que se

Los valores del parámetro a 1 que figuran en el cuadro 1, de acuerdo con las dimensiones fractales obtenidos anteriormente utilizando un argumento para ampliar los mismos datos [7].

Un segundo método para determinar la singularidad del espectro, el que utilizamos aquí, es el de determinar tanto numéricamente τ (q) y de sus derivados. De esta forma, calcular el espectro multifractal directamente de la utilización de datos (9). Se desprende de la Figura 2b que se obtiene la forma canónica del espectro, es decir, f (h) es una función convexa de la ampliación parámetro h. La punta del espectro está decidida a ser la dimensión fractal, como debería ser. Una vez más tenemos una indicación de que el intervalo de tiempo interstride describe una serie multifractal proceso, pero hacemos hincapié en que sólo estamos utilizando las propiedades cualitativas del espectro para q> 0, debido a la sensibilidad del método numérico a la debilidad de singularidades. Esta sensibilidad se desprende de la asimetría de la singularidad empírica del espectro en la figura 2b. Estos resultados están de acuerdo con los débiles multifractality encontrado por Scafetta et al. [31] utilizando un intervalo de diferentes interstride conjunto de datos.

Se desprende de la Figura 3 que la singularidad del espectro calculado a partir de los datos positivos para los q están bien apropiado por la solución de la ecuación de Langevin fraccional con los valores de los parámetros α = 1,57 y un 2 = 0,13, obtenido a través de un medio apropiado de la plaza ( 25) a los puntos de datos. Tenga en cuenta que esta en condiciones de la ampliación exponente se denota como la empírica Lévy índice en la Tabla 1. Al lado de esta columna es el teórico Lévy índice obtenido de la relación

Lévy-el llamado pie difusión relación [32] y que se refiere la ampliación exponentes cuando el subyacente es un proceso estadístico α-Lévy estable estadístico de procesos. Tenga en cuenta que el Lévy densidad de probabilidad p (x, t) satisface la relación de escala [32]

Una comparación de las dos columnas de la Lévy índice en la Tabla 1, empíricas y teóricas, utilizando un estadístico t-test, indica significación estadística al nivel de p = 0,01.

Conclusión

La forma no lineal de la masa exponente τ (q) en la Figura 2 bis, la forma convexa de la singularidad del espectro f (h) en la figura 2b y encajan a la f (q) en la figura 3, son todos indicios de que interstride intervalo de series de tiempo son Multifractal. Este análisis se apoya en el hecho de que los máximos de la singularidad espectros coinciden con las dimensiones fractales previamente determinado usando las propiedades de escalamiento de la serie sin la construcción de una caminata aleatoria trayectoria [7]. Un examen completo de las limitaciones inherentes a la determinación de la naturaleza de multifractal interstride utilizando el método de la singularidad del espectro con un número limitado de datos viene dada por Scafetta et al [31]. Además, los valores empíricos de la Lévy índice en la Tabla 1 están en consonancia con lo predicho usando Lévy-a pie difusión relación [32] en el 0,01 nivel de significación.

Se ha sugerido que la CPG para andar consiste en una caminata al azar entre una serie de centros nerviosos, lo que da lugar a su comportamiento fractal [5, 6]. Este modelo da lugar a un proceso de Gauss tener estadísticas y un largo tiempo de memoria determinada por el índice de escala. Los resultados, sin embargo, apuntan en otra dirección. Recordemos que anamolous difusión (δ ≠ 1) puede surgir de dos formas distintas. La más familiar es el de una caminata aleatoria con memoria, en el que las estadísticas son gaussiana, pero el espectro de frecuencias está dado por P (ω) α 1 / ω δ-1. La segunda manera anómala difusión puede surgir es a través de la ampliación de la densidad de probabilidad como dadas por (32). Si las estadísticas son gaussiana entonces la ampliación índices están relacionados por δ = 2 μ y para la difusión ordinaria μ = 1 / 2 impling δ = 1; además, para μ ≠ 1 / 2 es que el proceso de movimiento Browniano fraccional. Sin embargo, cuando las estadísticas son Lévy estable el segundo momento diverge y métodos especiales deben ser empleados para obtener la expansión de segundo momento.

Shlesinger et al. [33] mostró que cuando los pasos de una caminata aleatoria puede ser arbitrariamente larga y la duración de tiempo que se necesita para dar un paso se contabilizan en el proceso de caminar, se obtiene una Lévy proceso de difusión con un segundo momento finito. El segundo momento, de tal Lévy-a pie tiene un índice de escala dada por (31) con δ = 1 / α. En consecuencia, la calidad de la adecuación de la Lévy obtenidos utilizando el índice de Lévy-a pie difusión relación a la obtenida a partir de la singularidad del espectro, dado por la solución a la ecuación de Langevin fraccional, sugiere que la expansión en el intervalo de interstride datos pueden no ser debidos Únicamente a la memoria a largo plazo, ya que los investigadores han llegado a la conclusión anterior. En lugar de la expansión observada en el intervalo de tiempo interstride serie podría ser debido tanto a la memoria de largo tiempo y las estadísticas.

Usamos la ecuación fraccionaria Langevin para describir el proceso de control de motor en lugar de los paseos al azar de los anteriores porque los autores de la correspondencia directa entre la dinámica microscópica y la macroscópica fraccional derivados establecido por Grigolini et al. [34]. Estos últimos autores demuestran que la existencia de una clara separación entre macroscópicos y microscópicos escalas de tiempo apoya el uso de azar tradicionales paseos y mecánica estadística para modelar los fenómenos de interés. Esta separación de las escalas de tiempo sería coherente con el modo tradicional caminata aleatoria en la memoria de modelado de CPG. Sin embargo, cuando el tiempo escalas microscópicas difieren, de manera que se superponen a la escala de tiempo macroscópicos ordinarios de la mecánica estadística se rompe y la no differentiabiltiy microscópica de la dinámica se transmite desde el microscópico a nivel macroscópico, en la forma de derivados fraccional. En el contexto actual, una manifestación de una potencia inversa de la ley de distribución de la neurona disparos sería un fraccional ecuación diferencial de movimiento de respuesta de motor.

Dicho de otra forma, Grigolini et al [34] demostraron que la derivada fraccional en la ecuación de Langevin fraccional puede interpretarse en términos de una potencia inversa de la ley el tiempo de espera utilizando una función de distribución continua Random Walk Modelo tiempo. Por lo tanto, no sólo es la frecuencia visitada por el sistema de control seleccionados al azar, pero el tiempo que gasta en particular, la frecuencia en que SCPG también es aleatoria. Este tiempo de espera es inversa función de distribución de energía la ley y directamente proporcional a la integral fraccional núcleo. La ecuación implica fraccional Langevin este dinámico panorama completo y parece ser consistente con los datos del paso humano.

Somos conscientes del hecho de que para establecer que la expansión observada en interstride intervalo de los datos se debe a las estadísticas y la memoria, en lugar de la memoria durante mucho tiempo por sí solo, requiere de más de los escasos análisis que se presenta aquí. Así que poner esta especulación en la forma de una hipótesis que estamos utilizando actualmente pruebas extensas interstride intervalo de los datos disponibles de Physionet. Los resultados de estas pruebas se presentan en otros lugares.

Material suplementario
Archivo Adicional 1
Lista de los símbolos utilizados.
Agradecimientos

Los autores se agradecen a los EE.UU. Oficina de Investigación del Ejército de apoyo parcial de la investigación y el doctor L. Griffin de la prestación de los datos utilizados en este análisis y útil para los debates.