Predicción de la conectividad cortical de primates de las redes topológicas y espaciales nodo propiedades

Científico-los avances tecnológicos en las últimas décadas se han producido cada vez más experimental de los conocimientos sobre el cerebro y la dinámica organización. En particular, las modernas técnicas anatómicas han proporcionado muchos datos sobre las interconexiones de las zonas cerebrales corticales en el cerebro de animales como el gato o rata, o primates no humanos, como el mono rhesus. La intrincada, no aleatoria de conectividad de regiones corticales del cerebro la media diversificada y flexible sensoriales, cognitivos y conductuales funciones del cerebro mamífero. Sin embargo, la organización topológica de estas redes [1], así como su disposición espacial en el cerebro [2] se entiende todavía incompleta. Esto es particularmente evidente para la conectividad de la corteza cerebral humana, que es en gran medida desconocidos, debido a limitaciones experimentales [3].

Un problema fundamental abierto en los sistemas de la neurociencia es la relación entre las características especializadas de nodos locales, tales como zonas de la corteza cerebral, y la interacción global y la integración de estos nodos en las redes neuronales. Un aspecto de esta relación se refiere a la cuestión de que las características de los nodos locales de conexión estructural entre ellos puede ser predicho.

Estamos abordar esta cuestión con la ayuda de análisis de redes enfoques [4]. Debido a las redes corticales suelen ser complejas, poco conocimiento se puede obtener a través de su visualización en solitario. Por lo tanto, útil y objetivo cuantitativo caracterizaciones de redes complejas en última instancia dependen de la estimación de una serie de medidas complementarias de sus propiedades [5]. Red de mediciones suelen proporcionar información acerca de aspectos concretos topológicos o características geográficas de las redes. Por ejemplo, el grado nodo provee de una valiosa y cuantificación de la intensidad de las conexiones entre un nodo y el resto de la red. Sin embargo, no dice nada sobre el origen o destino de las conexiones de este tipo. Por otra parte, el coeficiente de agrupamiento de un nodo proporciona una cuantificación objetiva del grado en que los vecinos inmediatos de un nodo (nodos que se puede llegar directamente sin que ello suponga ningún nodos intermedios) están relacionados entre sí, pero no proporciona ninguna información sobre el resto de la red. Debido a la especificidad y la complementariedad de redes típicas mediciones, una cuestión esencial se plantea con respecto a lo que subconjuntos de las mediciones son más completa, en el sentido de permitir que precisa, o al menos razonablemente aproximada, la reconstrucción de la red original de sus respectivos topológicos o mediciones geográficas. Sorprendentemente, esta cuestión ha sido poco explorada en la literatura redes complejas (sin embargo, ver [6] para una primera incursión en este ámbito).

Es importante señalar que el problema de la red de reconstrucción de las características topológicas es en un sentido circular. Estas características se derivan de la plena conectividad de la red, por lo que la conectividad global puede deducirse teniendo en cuenta propia. Sin embargo, esto no es en absoluto una tarea trivial. Por ejemplo, las adivinanzas que están específicamente nodos interconectados, sobre la base de mediciones, tales como su grado o coeficiente de clustering, es casi siempre una tarea imposible. El ejercicio de tratar de reconstruir las conexiones de una colección de mediciones topológicas, por lo tanto, ofrece una interesante nueva forma de ver las propiedades específicas y estructura de la organización de una red compleja. Por ejemplo, en caso de que la conectividad puede ser razonablemente adivinado el nodo de grado correlaciones, esto proporcionaría una clave de comprensión acerca de su organización subyacente.

Consideramos topológicos, así como los parámetros espaciales, como redes biológicas, redes y el cerebro en particular, se insertan en el espacio. Es una pregunta interesante que preguntar cómo la topológica y organización espacial de estas redes se refiere a unos de otros. En particular, ¿cómo el espacio topológico y características de cada uno de los nodos se relacionan con la conectividad y el diseño de toda la red? Respuestas a estas preguntas podrá informar a las teorías actuales sobre la evolución y el desarrollo de redes biológicas complejas.

La sección Métodos de este artículo se presenta el aprobado topológica y espacial y describe las características de la metodología de reconstrucción sobre la base de similitud entre conjuntos de características. El análisis fue aplicado a los primates la conectividad cortical cerebral (2402 conexiones entre las 95 áreas corticales del mono Macaca). A fin de proporcionar un caso comparativo, también describen la aplicación de la misma metodología a C. elegans conectividad neuronal [adicional archivo 1].

Figura 1 se presenta una bidimensional de proyección del centro de masa de las áreas corticales, junto con sus interconexiones, obtenidas por análisis de componentes principales [7]. Esto hace que las tres dimensiones de la organización cortical red de acceso en dos dimensiones.

La Figura 2 muestra la frecuencia de histogramas de Euclides distancias entre todos los pares de nodos (a), el número de bordes existentes con una determinada distancia (b), y la relación entre los histogramas en (b) y (a). Tenga en cuenta que (a) representa las longitudes de todos los posibles enlaces, mientras que (b) muestra las longitudes de la realidad, las conexiones existentes entre nodos. Una serie de interesantes características puede inferirse de estos resultados. En primer lugar, vemos a partir de (a) y (b) que la red cortical bajo análisis involucra a pocos pares de aristas que están cerca el uno con el otro (es decir, distancias de menos de 10). Esta es una consecuencia directa del hecho de que cada región cortical ha estado representado en términos de su centro de masa, por lo tanto, limitar la distancia mínima entre pares adyacentes. Más interesante, los ratios de bordes existentes posible por pares en histograma (b) indican claramente (en decadencia por el perfil de este histograma como aumenta la distancia) que los más lejos un par de regiones es, la menos probable su interconexión.

Dada una red, a menudo es el caso de que un subconjunto de sus nodos es más interconectados entre sí que con el resto de la red. Este subconjunto de nodos, junto con las respectivas interconexiones, se llama una comunidad dentro de la red original. La intensidad de la separación entre la comunidad y el resto de la red se puede cuantificar en términos de su índice de modularidad, que varía entre 0 y 1 [8]. Con el fin de determinar las principales comunidades en el sistema cortical, hemos aplicado Newman espectral del método [8] y obtuvo las dos regiones identificadas en la Figura 3. Este enfoque de la comunidad de detección se basa en la reescritura de la modularidad función de la red en términos de matrices, por lo que la mejor partición en dos comunidades se pueden obtener en términos de análisis espectral de estas matrices. Además subdivisión de estas regiones se justifica debido a la baja modularidad valores obtenidos para esas subdivisiones. Nuestro enfoque ayuda a asegurar que el análisis posterior no fue sesgada por las diferencias entre los distintos conjuntos de datos que describen la red cortical (cf. Métodos, sección «los datos de la red neural").

Comunidades 1 y 2 son de tamaño comparable e incluyó N ₁ = 44 y N ₂ = 51 nodos, respectivamente, y E ₁ = 1326 y E ₂ = 1280 dirigida bordes. La agrupación de los coeficientes obtenidos para la identificación de dos comunidades se encontró que ser igual a 0,52 y 0,68, respectivamente. Esto podría ser explicado por el mayor número de conexiones dentro de las comunidades. Considerando que la densidad global borde de la red fue 0,17, las densidades dentro de las comunidades fueron 0,50 y 0,66.

Ahora nos centramos nuestra atención en el análisis de las propiedades nodo local y la conectividad de estas dos comunidades. La figura 4 presenta los histogramas de nodo de grado, coeficiente de clustering, y se pongan en venta índice con respecto a la identificación de dos comunidades. Histogramas similares se obtuvieron para la mayoría de las mediciones, excepto el nodo de grado, lo que resultó muy diferente en cada comunidad, siendo más uniformemente distribuidos en el caso de la comunidad 2. La agrupación de los coeficientes de cada uno de los nodos de ambas comunidades fueron superiores a 0,5. Además, el coeficiente promedio de la agrupación es a la vez por encima de la densidad global, así como por encima del borde de la densidad dentro de la respectiva comunidad. La probabilidad media de camino más corto distancias parece decaimiento con la distancia. El índice se pongan en venta dentro de las comunidades se situaba entre el 0,5 y el 0,6 como cabría esperar de nodos dentro de la misma comunidad. Nota, sin embargo, que algunos nodos se pongan en venta tenía un índice de 0,3, indicando a continuación las demás nodos.

Figura 5 muestra los histogramas de media distancia topológica, eficaz y media distancia, y el área obtenida para las dos comunidades. Es evidente a partir de estos resultados promedios similares que caracterizan a las mediciones en cada comunidad, mientras que los respectivos distribución varía notablemente.

Una cuestión importante a ser considerado al mismo tiempo la adopción de varias medidas es la cuantificación de las posibles relaciones entre ellas, lo que puede ser indicada por los coeficientes de correlación de Pearson para todos los pairwise combinaciones de medidas. Los coeficientes de Pearson calcularse independientemente de la topológica y espacial mediciones se indican en los cuadros 1 y 2. De ello se desprende de los resultados en el Cuadro 1 que el nodo de grado está fuertemente correlacionada con el índice de concordancia, mientras que exhiben moderada anticorrelation con la media de camino más corto hacia la distancia. Como cabía esperar, la densidad de locales resultó ser débilmente anticorrelated con el tamaño de la superficie (cuadro 2].

Con excepción de la fuerte correlación entre el grado de nodo y se pongan en venta índice, todos los demás pares de mediciones fueron sin complicaciones, lo que apoya la complementariedad de las adoptado conjuntos de características.

Cuadro 3 da el promedio esperado de los coeficientes correctos y ceros, así como sus respectivos promedios geométricos, para los dos principales comunidades en las redes corticales.

Se realizó una búsqueda exhaustiva, teniendo en cuenta todos los 1-por-1, 2-por-2 y 3-por-3 combinaciones de cada uno de los dos tipos de mediciones para considerarse toda una secuencia de valores umbral T (que van desde 0,1 a 7 en pasos de 0,1) con el fin de identificar las combinaciones que producen reconstruido las redes que son más similares a las originales red G. Cuadro 4 presenta las combinaciones de mediciones respectivas y media geométrica de R ₁ y R ₂ con respecto a las dos principales comunidades cortical considerada en este trabajo. Se desprende de este cuadro que sintetiza las mejores redes fueron obtenidos por el índice de concordancia para la primera comunidad y la combinación de (coeficiente de la agrupación, se pongan en venta Índice) para la segunda comunidad.

La Figura 6 muestra las matrices de adyacencia de las comunidades de origen (a, b) y los de la mayoría de las respectivas redes similares (c, d) obtenida por el considerando las propiedades topológicas en cada nodo. Sorprendentemente, las redes construidas sobre la base de las combinaciones de mediciones parece razonablemente similares a las respectivas redes original.

Las cualidades de las reconstrucciones obtenidas al considerar el ámbito espacial 4 se indican en el cuadro 5. La mejor reconstrucción de las comunidades 1 y 2 fueron obtenidos para la densidad y la densidad local / zona de tamaño, respectivamente.

Con el fin de investigar cómo las combinaciones de espacio topológico y realizar funciones en relación con la red de reconstrucción, que también examinó combinaciones híbridas entre los dos topológico (es decir, la agrupación y se pongan en venta coeficiente de índice) y los dos espacial (es decir, densidad local y de tamaño de la superficie) características que se encontraron para producir los mejores resultados en el cuadro 4 y 5, respectivamente. Los resultados se recogen en el cuadro 6. La mejor reconstrucción de la comunidad 1 se obtuvo como antes de considerar sólo el índice se pongan en venta. Sin embargo, una pequeña mejoría fue observada por la comunidad 2 según lo permitido por la combinación entre las dos características topológicas más el tamaño de la superficie. La red respectiva reconstrucción no se muestra, ya que es muy similar a la obtenida para las dos características topológicas (es decir, coeficiente de agrupamiento y se pongan en venta índice, véase la figura 5b].

Figura 7 muestra el original y reconstruido matrices teniendo en cuenta las características espaciales 4.

Curiosamente, una comparación entre las matrices de adyacencia en la Figura 6 y 7 de inmediato muestra que las redes inferir sobre la base de las mediciones de las propiedades topológicas en cada nodo reproduce el original de conexión mejor que las redes construidas por la consideración de la propiedades espaciales.

Es bastante sorprendente que tan buenos reconstrucciones de las matrices originales pueden ser obtenidos por considerar relativamente simple topológica y espacial. Cuadro 7 se resume la comparación entre el original y reconstruido, mientras que las comunidades teniendo en cuenta la topología y la geometría. Se desprende de esta mesa razonable que la reconstrucción se pueden obtener para la organización mundial de la cortical comunidades sobre la base de sus propiedades nodo local. Los promedios geométricos también indican que las dos comunidades son, posiblemente, organizados de acuerdo a diferentes topológicos y las influencias espaciales, con la comunidad siendo el 1 el más fuertemente limitada por la medida adoptada.

Las conexiones que aún no han sido probados en la localización del tracto estudios fueron hasta ahora tratados como ausente en este estudio. Esto se debe al hecho de que sólo una de las tres compilaciones que contribuyen a la actual distinción entre datos ausentes y desconocidos conexiones. Para esta compilación [9], que forma un 32 × 32 zona subgraph, revisamos las redes reconstruida a la luz de si eran capaces de predecir las conexiones previamente desconocido. En este análisis, una esfera, VP, tuvo que ser excluido de la matriz original debido a su posición espacial desconocida. Por la combinación de los dos mejores topologic espacial y dos medidas, 111 desconocemos las proyecciones se prevé que existan, y 174 conexiones se prevé que estará ausente, dando una proporción realista para predecir las conexiones existentes de 39%, de todas las conexiones desconocidas. El predijo proyecciones se muestran en amarillo en los campos reconstruidos subgraph matriz en la Fig. 8. La cifra indica también la inadecuación (campos de color rojo) entre el original y reconstruido las matrices, ya sea las conexiones existentes que quedaron fuera de la matriz reconstruido (90 casos) o ausencia de conexiones de lleno en el reconstruido matriz (106 casos). La mayoría de las entradas (en campos en verde), sin embargo, se confirmó la existencia de (207 casos) o estar ausente (212 casos).

También exploró el impacto de la potencial existencia de las conexiones actualmente desconocidos, mediante la creación de dos nuevas versiones simuladas de los 31 × 31 zona subgraph matriz, en el que (a) todas las conexiones se desconoce supone que existen ( 'pleno' versión), ( b) 31% de las conexiones se desconoce supone que existen (esto refleja la densidad media de borde en las redes corticales, 'relativo' version). Razonable reconstrucciones se obtuvieron en todos estos tres casos, como ha quedado demostrado por las respectivas distancias Hamming media geométrica y errores (cuadro 8].

Hemos explorado el papel de los entes locales topológica y espacial para determinar la conectividad cortical. Características topológicas habían sido analizados antes de que [6] con una medida similar a la correspondiente índice utiliza aquí como un predictor de la corteza visual de primates conectividad. Estudios anteriores también se aplican el concepto de barrio como un predictor de la conectividad que indica que cerca espacialmente regiones suelen estar conectados por fibra extensiones [10]. En este artículo, hemos ampliado esas nociones de las pruebas el impacto relativo de varias topológicos y las limitaciones espaciales en la organización de redes neuronales.

En general, un pequeño número de locales es suficiente para predecir las conexiones entre las regiones. En el caso de las características topológicas, el correspondiente índice representa el medio más eficaz característica individual para la reconstrucción de ambas comunidades, mientras que la mejor selección para la comunidad 2 también se requiere el coeficiente de agrupamiento. Este resultado corrobora la función especial de esta función para la organización cortical [11] y significa que las áreas corticales que tienen similares entradas y salidas también tienden a ser conectados unos con otros. Los mejores reconstrucciones obtenidas a partir de las características espaciales se han obtenido teniendo en cuenta la densidad de locales de ambas comunidades. El área fue también el tamaño necesario para la mejor reconstrucción de la comunidad 2. Estos resultados sugieren que las regiones con densidades similares locales tienden a conectarse entre sí. En el caso de la comunidad 2, interconexiones región también parecen similares a favor de tamaño de la superficie.

En cuanto a las características individuales para la predicción de conexiones, características topológicas dado lugar a una mejor estimación de características espaciales. Esto puede explicarse en parte por el hecho de que nodo características topológicas de su definición están indirectamente vinculadas a la red mundial de la organización, como se mencionó anteriormente. Sin embargo, es sorprendente que el 'puro' espacial de parámetros (parámetro 8: zona de las coordenadas, que expresa la proximidad entre las zonas) no se tradujo en un fuerte de predicción para la conectividad, como la distancia espacial ha sido previamente presentado como un factor importante en primates conectividad cortical [10]. Esto puede explicarse por la existencia de un número significativo de largo alcance en conexiones de redes corticales, como resultado del hecho de que algunas regiones son parte de una red, pero el grupo, no obstante, el espacio lejano. En estos casos, como el frontal del ojo sobre el terreno están espacialmente distante del resto de la corteza visual, la proximidad espacial no predecir una conexión. De hecho, existe una proporción significativa de larga distancia en conexiones de redes neuronales biológicas [12], que garantiza un bajo número de etapas de procesamiento a través de estos sistemas [2].

Desde la localización del tracto anteriores estudios se han centrado en la corteza visual, podrían existir conexiones adicionales, principalmente dentro y entre los de motor, auditivo y somatosensorial cortices. Como se ha demostrado una menor subgraph de la red cortical de primates, nuestro enfoque de reconstrucción podría ser utilizada para guiar los futuros estudios experimentales, se derivan de hipótesis sobre las proyecciones actualmente desconocidos que se espera que existan o se ausente. El análisis de las diferentes versiones de este subgraph, con proporciones variables de origen desconocido conexiones del supuesto de que existan, también demostró que las principales conclusiones de este estudio no dependen del número de conexiones actualmente desconocidos que pueden ser descubiertas en el futuro.

Un análisis anterior de la relación entre el tamaño de la superficie de áreas corticales y el número de proyecciones que envían o reciben no encontró correlación significativa entre estos parámetros [13]. El presente análisis sugiere que la zona tamaño puede ser un factor que contribuye a la predicción de conexiones, después de todo (Resultados de la sección "Comparación entre la original y reconstruido las redes»). Por lo tanto, quizás lo que importa no es el tamaño de la superficie absoluta, pero el tamaño combinado de las regiones conectadas.

Por la característica de análisis que transforma las proyecciones unidireccional en bidireccional conexiones. Esto dio lugar en 3044 dirigida bordes en comparación con el original de 2402 dirigida bordes. Este paso era necesario como la reconstrucción basada en la distancia espacial depende de la distancia euclidiana que es simétrica en ambas direcciones. Puede ser una interesante tarea para el futuro repetir el análisis topológico basado en medidas unidireccionales.

Las relaciones observadas entre las propiedades nodo local y la conectividad global Mayo consejos sobre normas de desarrollo. A medida que la reconstrucción enfoque ha funcionado bien para la red de primates, pero no para las conexiones neuronales en C. elegans [véase la disposición 1], parece que la organización de redes neuronales está sujeta a diferentes limitaciones en estos dos sistemas. Una posibilidad es que la red neuronal de C. elegans, que es idéntico en cada organismo, podría ser determinado en gran medida por factores genéticos [14], que puede prescribir un determinado conectividad independiente de simple topologic normas o espaciales. Para los más grandes sistemas neuronales, sin embargo, puede resultar imposible para codificar toda la conectividad entre las regiones corticales dentro del genoma, lo que resulta en una mayor contribución de la ordenación del territorio y topologic limitaciones a la auto-organización de los sistemas de conectividad.

A pesar de que la conectividad en primates no humanos, como el mono Macaca es relativamente bien conocido, todavía hay poca información disponible acerca de la conectividad humana. Nuevos métodos, como la difusión de imágenes de tensor [15] o post-mortem del tracto localización [16] se aplican a los cerebros humanos, pero siguen enfrentándose a graves limitaciones experimental. Tenemos la esperanza de que la topológica y espacial en este estudio pueden complementar y orientar la actual aproximaciones experimentales. Estas características podrían proporcionar una base para evaluar la fiabilidad de las predicciones del tracto de fibras que se basan en los planteamientos no invasivos métodos.

La reconstrucción de la conectividad neuronal de nodo local propiedades ofrece información sobre las limitaciones de organización en red. En particular, sugiere que las redes neuronales en C. elegans y redes neuronales en la corteza cerebral de primates desarrollados bajo diferentes limitaciones, y que la disposición de los primates redes corticales del cerebro no está totalmente determinada por las propiedades espaciales.

Se analizó la organización de proyecciones de 2402 entre 95 áreas corticales y sub-áreas de la primates (Macaca mono) cerebro. La conectividad de datos se recuperaron de CoCoMac ([17, 18]] y se basa en tres amplias recopilaciones neuroanatomical [9, 19, 20] que, en conjunto, abarcan grandes partes de la corteza cerebral. En la base de datos, informó de proyecciones entre las áreas corticales se basan en la localización anatómica del tracto tintes estudios donde se inyecta en una zona cortical, y anterógrado o retrógrado de transporte se indica el tinte blanco o zonas de origen de las fibras de proyección. Espacial posiciones de áreas corticales se calcula la superficie de parcelamiento utilizando el software caret http://brainmap.wustl.edu/caret. La posición espacial de las zonas se calcula como el promedio de superficie de coordinar (o centro de masa) de las tres dimensiones de extensión de una zona (véase [2]]. Si bien este conjunto de datos cortical es más extenso que los utilizados en los estudios anteriores, todavía puede ser parcialmente incompleta, en particular para las conexiones de motor, auditivo y somatosensorial. La restricción surgió del hecho de que sólo los estudios podían ser utilizados para que un régimen parcellation con coordenadas espaciales existía en caret. Con el fin de evitar posibles artefactos asociados con la segregación de los datos en los informes disponibles, lo primero que realizó un análisis de la comunidad de la red cortical y, a continuación, se analizó la identificaron dos comunidades por separado (resultados, la sección «Descripción y análisis de la comunidad ').

A título de comparación, también se analizaron en dos dimensiones espaciales representaciones de la red neuronal rostral (131 neuronas, 764 conexiones) de la nematodo C. elegans [véase la disposición 1]. Espacial en dos dimensiones posiciones (en el plano lateral), lo que representa la posición del soma de neuronas individuales en C. elegans, fueron proporcionados por Y. Choe [21]. Conectividad neuronal se obtuvo a partir de [22]. El conjunto de datos fue ligeramente modificado, tal como se describe en detalle en [2].

La cortical, así como la C. elegans datos están disponibles en [23].

Las conexiones entre regiones corticales pueden ser representados y entenderse como un gráfico, por ejemplo, [10, 24], o red compleja, por ejemplo, [1]. Más concretamente, la N = 95 áreas corticales considerados en este trabajo se representan como nodos, mientras que las conexiones existentes entre esos nodos se expresan en términos de bordes. Más formalmente, la cortical red está representada en lo que respecta a su matriz de adyacencia K, con dimensión N × N, con la presencia de una conexión de la ampliación de nodo a nodo j i está indicado como K (i, j) = 1. La matriz de adyacencia sólo da información sobre si una conexión entre dos nodos existe en la red, en particular, contiene sólo información sobre topológica de la red y no está relacionada con el significado coloquial de adyacentes como espacialmente cerca. Un no-dirigido versión K _no de la matriz de adyacencia K puede obtenerse como

( K n o n ( i , j ) = 1 K n o n ( i , j ) = 0 i f ( K ( i , j ) + K ( j , i ) ) > 0 o t h e r w i s e ( 1 ) MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = vr0 = vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaadaGabeqaauaabeqaceaaaeaacqWGlbWsdaWgaaWcbaGaemOBa4Maem4Ba8MaemOBa4gabeaakmaabmaabaGaemyAaKMaeiilaWIaemOAaOgacaGLOaGaayzkaaGaeyypa0JaeGymaedabaGaem4saS0aaSbaaSqaaiabd6gaUjabd + gaVjabd6gaUbqabaGcdaqadaqaaiabdMgaPjabcYcaSiabdQgaQbGaayjkaiaawMcaaiabg2da9iabicdaWaaacqqGGaaiaiaawUhaauaabeqaceaaaeaacqWGPbqAcqWGMbGzcqqGGaaicqGGOaakcqWGlbWsdaqadaqaaiabdMgaPjabcYcaSiabdQgaQbGaayjkaiaawMcaaiabgUcaRiabdUealnaabmaabaGaemOAaOMaeiilaWIaemyAaKgacaGLOaGaayzkaaGaeiykaKIaeyOpa4JaeGimaadabaGaem4Ba8MaemiDaqNaemiAaGMaemyzauMaemOCaiNaem4DaCNaemyAaKMaem4CamNaemyzaugaaiaaxMaacaWLjaWaaeWaaeaacqaIXaqmaiaawIcacaGLPaaaaaa @ @ 6CA3

Porque también tenemos información acerca de la posición espacial de cada región cortical, es posible construir una matriz de distancia D tal que D (i, j) representa la distancia euclidiana entre los nodos i y j. Tenga en cuenta que ambas matrices K y D _no son simétricas de la construcción, es decir: _no K (i, j) = K _sin (j, i) y D (i, j) = D (j, i) para cualquier i y j. Es posible calcular una serie de mediciones de matrices K, K, D y _no con el fin de caracterizar el espacio topológico y propiedades de la red original. En estas mediciones, hemos utilizado la simetría topológica de adyacencia matriz K para _no ser comparable con la distancia espacial simétrica matriz D. Si bien estas mediciones se realiza a menudo para la red en su conjunto, aquí nos centramos en locales mediciones obtenidas por cada nodo de red.

Los siguientes 8 nodo basado en las mediciones (4 topológicas espaciales y 4) fueron considerados en el análisis.

Cortical hipotético redes fueron creadas por pairwise evaluar la similitud de los nodos con respecto a cada una de las ocho características. Undirected se crearon enlaces entre nodos, si su similitud superado un umbral. Con el fin de evitar la necesidad de especificar este umbral, hemos considerado una serie de umbrales igualmente espaciados durante la reconstrucción y tuvo como resultado el umbral para los mejores resultados (es decir, mejor recuperación de la conectividad original).

El topológica contexto espacial y alrededor de cada nodo i en las dos comunidades se puede caracterizar en términos de los respectivos vectores característica v → i MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = vr0 = vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaacuWG2bGDgaWcamaaBaaaleaacqWGPbqAaeqaaaaa @ @ 2FBA que contiene un subconjunto seleccionado de las mediciones efectuadas en ese nodo. En este trabajo, consideramos 1-por-1, 2-por-2 y 3-por-3 combinaciones de las seis mediciones se describen en la sección "Red de caracterización de los índices». Con el fin de evitar sesgos implícitos en las diferentes gamas de cada medición, estos valores se han normalizado [28]. Más concretamente, para cada tipo de medición, cada valor se restará de los respectivos medios y dividido por la desviación estándar respectivas. Tenga en cuenta que estas nuevas mediciones han cero y unidad de media desviación estándar.

Ahora es posible utilizar la metodología sugerida en [29, 30], a fin de obtener redes de la función de vectores v → i MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = vr0 = vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaacuWG2bGDgaWcamaaBaaaleaacqWGPbqAaeqaaaaa @ @ 2FBA . Tenga en cuenta que cada elemento v _i (p) de un vector representa una posible mediciones. Para ello, comenzaremos con N = 95 nodos aislados y, para cada posible par de nodos (i, j), establecer una conexión entre ellos, haciendo y K (i, j) = 1 y K (j , I) = 1, cuando se cumplen las siguientes condiciones

d ( i , j ) = Σ p = 1 n ( v i ( p ) -- v j ( p ) ) 2 ≤ T ( 6 ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY=wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqai=hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq=dirpe0xb9q8qiLsFr0=vr0=vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaacqWGKbazdaqadaqaaiabdMgaPjabcYcaSiabdQgaQbGaayjkaiaawMcaaiabg2da9maakaaabaWaaabCaeaadaqadaqaaiabdAha2naaBaaaleaacqWGPbqAaeqaaOGaeiikaGIaemiCaaNaeiykaKIaeyOeI0IaemODay3aaSbaaSqaaiabdQgaQbqabaGccqGGOaakcqWGWbaCcqGGPaqkaiaawIcacaGLPaaadaahaaWcbeqaaiabikdaYaaaaeaacqWGWbaCcqGH9aqpcqaIXaqmaeaacqWGUbGBa0GaeyyeIuoaaSqabaGccqGHKjYOcqWGubavcaWLjaGaaCzcamaabmaabaGaeGOnaydacaGLOaGaayzkaaaaaa@51CA@

where n is the number of chosen measurements and T is a pre-fixed threshold. Note that the smaller the value of this threshold, the less intensely connected the respective network will result.

Because the reconstructed networks are fully congruent with the original data, in the sense that they have the same number of nodes and each node refer to the same cortical region, it is possible to obtain a simple and effective measurement of the difference between the original network G and each of the networks F obtained from the topological and spatial features in terms of the distance defined as being equal to the number of different entries in the respective adjacency matrices. More formally, we have that

H ( G , F ) = 1 2 { N 2 -- ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N δ ( K G ( i , j ) , K F ( i , j ) ) } ( 7 ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY=wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqai=hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq=dirpe0xb9q8qiLsFr0=vr0=vr@5F30@

where K _G and K _F are the adjacency matrices of the original and reconstructed matrices, and δ ( a , b ) is the Kronecker delta function, which results 1 whenever a and b are equal and 0 otherwise. The 1/2 factor is necessary in order to account for the fact that in a non-directed graph each edge appears twice in the respective adjacency matrix.

However, this measure, the Hamming distance, provides a biased quantification of the similarity between any two matrices in case the number of zeros and ones is significantly different. For instance, in case a matrix contains few ones and many zeros, its Hamming distance to a null matrix (all entries equal to zero) will be very small. In order to provide a more balanced overall measurement of the similarity between two adjacency matrices A and B , both with the same dimension N × N , we consider the geometrical average g ( A , B ) between the ratios of correct ones ( R ₁ ) and correct zeros ( R ₀ ). More specifically, in case matrix A contains A ₀ zeroes and A ₁ ones, and matrix B contains b ₀ zeroes coinciding with the zeroes of A and b ₁ coinciding ones, we define R ₁ = b ₁ / A ₁ and R ₀ = b ₀ / A ₀ . The two matrices will be maximally similar in case g ( A , B ) = R 1 R 0 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY=wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqai=hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq=dirpe0xb9q8qiLsFr0=vr0=vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaadaGcaaqaaiabdkfasnaaBaaaleaacqaIXaqmaeqaaOGaemOuai1aaSbaaSqaaiabicdaWaqabaaabeaaaaa@3156@ = 1, which is verified if and only R ₁ = R ₀ = 1.

It is possible to obtain a random reference for the comparison between any two adjacency matrices A and B as follows. Let the ratio of ones in A be r ₁ = A ₁ / N ² and the ratio of zeroes be r ₀ = A ₀ / N ² . It can be shown that the average expected ratios of correct ones and zeros while comparing matrix A with matrices B generated randomly (uniform probability) with the same ratio r ₁ of ones are given as R ₁ = r ₁ and R ₀ = r ₀ .

These comparisons with the original connectivity and random benchmarks were applied to all adjacency matrices reconstructed from individual and combined node features.

The initial proposal of checking the relationship between spatial position and connectivity was suggested by CCH and MK, while LDFC proposed the methodology of network reconstructions. LDFC performed all experimental simulations and analyses, except the determination of the correlation statistical tests, performed by CCH. The discussion and interpretation of the results, as well as the paper writing, was performed jointly by the three authors.