Estocástico sincronización de redes de oscilador genético

Elucidar las dinámicas colectivas de los osciladores acoplados genética no sólo es importante para la comprensión de los fenómenos rítmicos de los organismos vivos, pero también tiene muchas aplicaciones potenciales en las áreas de bioingeniería. Hasta ahora, muchos investigadores han estudiado la genética de sincronización en las redes de los aspectos del experimento, simulación numérica y análisis teórico. Por ejemplo, en [1], los autores investigaron experimentalmente la sincronización del reloj celular en el núcleo suprachiasmatic (SCN); en [2 - 4], la sincronización se estudian en las redes biológicas genéticas idénticas de los osciladores, y en [5 - 7 ], Para la sincronización junto nonidentical genéticos osciladores se investiga. Regulación génica es un proceso intrínsecamente ruidosa, que está sujeta a intracelular y extracelular perturbaciones de ruido y las fluctuaciones de medio ambiente [8 - 12, 14]. Tal celular ruidos, sin duda, afectan la dinámica de las redes, tanto cuantitativa como cualitativamente. En [13], los autores estudiaron numéricamente la cooperativa comportamientos multicelda de un sistema con perturbaciones de ruido. Pero a nuestro entender, la sincronización de propiedades estocásticas redes genéticas aún no han sido estudiados en teoría.

El presente documento tiene por objeto proporcionar un punto de vista teórico resultado de la sincronización de osciladores genéticos junto con las perturbaciones de ruido, sobre la base de la teoría de control de enfoque. En primer lugar, proporcionan un resultado teórico general para el estocástico de sincronización de osciladores acoplados. Después de eso, mediante la adopción de la estructura específica de muchos osciladores modelo genético en cuenta, presentamos una condición suficiente para el estocástico de sincronización en términos de desigualdades lineales matriciales (SIAL) [15], que son muy fáciles de verificar numéricamente. A nuestro entender, la sincronización del oscilador de redes complejas con las perturbaciones de ruido, aunque no en el contexto biológico, aún no ha sido totalmente estudiada. Recientemente, se constató que muchas redes biológicas son complejas redes de pequeña escala y el mundo libre de propiedades [16, 17]. Nuestro método es también aplicable a las redes de oscilador genético con topología compleja, dirigido y ponderado acoplamientos. Para demostrar la eficacia de los resultados teóricos, se presenta un ejemplo de simulación junto repressilators. A lo largo de este documento, la matriz U ∈ R ^{N × N} se define como un irreductible matrices fila cero con importes, cuyo fuera de la diagonal son todos los elementos no positivos, y los demás anotaciones se definen en el Apéndice A.

Dado que sabemos muy poco sobre la forma en que el celular ruidos en el acto redes genéticas, una forma simple de incorporar efectos aleatorios es suponer que determinados ruidos al azar perturbar la genética en las redes de un aditivo. Consideramos que las siguientes redes de N osciladores genéticos junto con las perturbaciones de ruido aleatorio

d x i ( t ) d t = M ( x i ( t ) ) + Σ j = 1 N G i j D x j ( t ) + v i ( t ) n i ( t ) , i = 1 , ⋯ , N MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = = vr0 vr + UimjabcYcaSiabd6eaobaa @ @ 6B82

donde F () define la dinámica de cada uno de los osciladores, v _i (t) ∈ R ^{n × 1} es el llamado vector intensidad de ruido, pertenece a L ₂ [0, ∞). Como veremos en el siguiente análisis, los resultados celebrar sin importar lo que v _i (t) es y no importa donde se presentó, por lo que no expresar explícitamente la forma de v _i (t) aquí. V _i (t) también puede ser una función de las variables (si es así, algunas pequeñas modificaciones son necesarias en los siguientes). n _i (t) es un escalar cero significa Gaussian proceso de ruido blanco. Recordemos que el tiempo derivado de un proceso de Wiener es un proceso de ruido blanco [19], por lo tanto, podemos definir dw _i (t) = n _i (t) dt, donde w _i (t) es un proceso de Wiener escalar. Así, la ecuación anterior puede ser reescrito como la siguiente ecuación diferencial estocástica forma:

d x i ( t ) = [ M ( x i ( t ) ) + Σ j = 1 N G i j D x j ( t ) ] d t + v i ( t ) d w i ( t ) , i = 1 , ⋯ , N . ( 1 ) MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = = vr0 vr 7368 @ @

El trabajo puede ser fácilmente ampliada para el caso de que v _i (t) ∈ R n × l i MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = vr0 = vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaacqWGsbGudaahaaWcbeqaaiabd6gaUjabgEna0kabdYgaSnaaBaaameaacqWGPbqAaeqaaaaaaaa @ @ 346B y n _i (t) = [n _{i 1} (t), ⋯, n i l i MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = vr0 = vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaacqWGUbGBdaWgaaWcbaGaemyAaKMaemiBaW2aaSbaaWqaaiabdMgaPbqabaaaleqaaaaa @ @ 328C (T)] ^T ser un l _{i-dimensional,} independientes entre sí, cero significa Gaussian proceso de ruido blanco. D ∈ R ^{n × n} define el acoplamiento entre dos osciladores genéticos. G = (G _{ij) N × N} es la matriz de acoplamiento de la red . Si existe un vínculo de oscilador oscilador j a i (i ≠ j), entonces G _ij es igual a una constante positiva que denota la fuerza de acoplamiento de este enlace, de lo contrario, G _ij = 0; G i i = -- Σ j = 1 , j ≠ i N G i j MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = vr0 = vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaacqWGhbWrdaWgaaWcbaGaemyAaKMaemyAaKgabeaakiabg2da9iabgkHiTmaaqadabaGaem4raC0aaSbaaSqaaiabdMgaPjabdQgaQbqabaaabaGaemOAaOMaeyypa0JaeGymaeJaeiilaWIaemOAaOMaeyiyIKRaemyAaKgabaGaemOta4eaniabggHiLdaaaa @ @ 426B . Matriz G define la topología de acoplamiento, dirección, y la fuerza de acoplamiento de la red.

Para la red (1), un intento natural es el estudio de la media cuadrática asintótica sincronización. Pero los resultados experimentales muestran que por lo general los osciladores genéticos no pueden lograr media cuadrática de sincronización (véase, por ejemplo, los resultados experimentales en [1] y el Apéndice B para una discusión teórica). Analógica a la estabilidad estocástica con atenuación de las perturbaciones (véase, por ejemplo [20]], nos dan una menos restrictivo (pero más realista) la definición de sincronización estocásticos de la siguiente manera:

Definición 1: Para un determinado escalar γ> 0, la red (1) se dice que es estocásticamente sincrónica (en virtud de la combinación de matriz U) con atenuación de las perturbaciones γ si la red sin perturbación (v _i = 0, ∀ i) es asymptotically síncrono, y en las mismas condiciones iniciales para todos los osciladores,

Σ i < j ( -- U i j ) ‖ x i ( t ) -- x j ( t ) ‖ E 2 2 < γ Σ i ‖ v i ( t ) ‖ 2 2 , ( 2 ) MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = = vr0 vr 6350 @ @

para todos los nonzero v _i (t), donde ‖ ⋅ ‖ E 2 2 = E ( ∫ 0 ∞ | ⋅ | 2 d t ) MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = vr0 = vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaadaqbdaqaaiabgwSixdGaayzcSlaawQa7amaaDaaaleaacqWGfbqrdaWgaaadbaGaeGOmaidabeaaaSqaaiabikdaYaaakiabg2da9Gqabiab = veafnaabmaabaWaa8qmaeaadaabdaqaaiabgwSixdGaay5bSlaawIa7amaaCaaaleqabaGaeGOmaidaaOGaemizaqMaemiDaqhaleaacqaIWaamaeaacqGHEisPa0Gaey4kIipaaOGaayjkaiaawMcaaaaa @ @ 4714 . En este caso, mediante la introducción de la combinación de matriz U, podemos seleccionar con flexibilidad la forma de la matriz para obtener diferentes combinaciones de error.

Al utilizar las técnicas descritas en el Apéndice C, sabemos que si existen matrices P> 0, T ∈ R ^{n × n} y U, y un escalar ρ> 0, tal que se cumplan las siguientes condiciones,

S ₂ ≡ 2 (y ₁ - y ₂₎ ^T P [F (y ₁₎ - F (y ₂₎ - T (y ₁ - y _2)] + ρ γ MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = vr0 = vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaadaWcaaqaaGGaciab = f8aYbqaaiab = n7aNbaaaaa @ @ 3025 (Y ₁ - y ₂₎ ^T (y ₁ - _y 2) <0, ∀ y _1, y ₂ ∈ R ⁿ (≠ y ₁ y _2),

(U ⊗ P) (G ⊗ D + I ⊗ T) + (G ⊗ D + I ⊗ T) ^T (U ⊗ P) ≤ 0, (3)

U ⊗ P ≤ ρ I,

entonces, la red (1) se estocástico lograr la sincronización con atenuación de las perturbaciones γ.

La citada condición (3) es un resultado general para el estocástico de sincronización de osciladores acoplados. Pero no tenemos generales método eficaz para la verificación de la primera desigualdad en (3) para arbitraria F debido a su no linealidad. A continuación se lleva a considerar una especial estructura genética de los osciladores para obtener una forma fácil de verificar resultado.

Genéticos osciladores son bioquímicamente dinámicos redes, que, normalmente, pueden ser modelados como sistemas dinámicos no lineales. Matemáticamente muchos osciladores genética puede expresarse en forma de aditivo múltiples términos y las condiciones son monotónica funciones de cada variable, que en particular, son de lineal, Michaelis-Menten y formas Hill. En nuestras anteriores comunicaciones [7, 23], hemos tomado medidas especiales de la estructura genética de las propiedades de redes en cuenta, y han demostrado que estos osciladores genética puede transformarse en Lur'e forma y puede ser más analizada por Lur'e sistema utilizando el método en teoría de control [22]. En este artículo, también consideramos tal estructura especial. Para realizar nuestro documento más comprensible y en sí misma, primero vamos a introducir brevemente el enfoque, y que después vamos a analizar el oscilador estocástico genéticos en teoría las redes. Consideramos que la siguiente forma general de oscilador genético:

y ˙ MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = vr0 = vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaacuWG5bqEgaGaaaaa @ @ 2E30 (T) = Ay (t) + B ₁ f ₁ (y (t)) + B ₂ f ₂ (y (t)), (4)

donde y (t) ∈ R ⁿ representa la concentración de proteínas, ARN's y químicos complejos, A, B ₁ y B ₂ son las matrices en R ^{n × n,} f ₁ (y (t)) = [f ₁₁ (y ₁ ( t)), ⋯, _{1 n} f (y _n (t))] f ^T con _{1 j (j} y (t)) como una función monotónica creciente de la forma f 1 j ( y j ( t ) ) = ( y j ( t ) / β 1 j ) H 1 j / [ 1 + ( y j ( t ) / β 1 j ) H 1 j ] MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = = vr0 vr 6015 @ @ , Y f ₂ (y (t)) = [f ₂₁ (y ₁ (t)), ⋯, f _{2 n (n} y (t))] ^T con f _{2 j (j} y (t)) como monotónica la disminución de la función de la forma f 2 j ( y j ( t ) ) = 1 / [ 1 + ( y j ( t ) / β 2 j ) H 2 j ] MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = vr0 = vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaacqWGMbGzdaWgaaWcbaGaeGOmaiJaemOAaOgabeaakiabcIcaOiabdMha5naaBaaaleaacqWGQbGAaeqaaOGaeiikaGIaemiDaqNaeiykaKIaeiykaKIaeyypa0JaeGymaeJaei4la8Iaei4waSLaeGymaeJaey4kaSIaeiikaGIaemyEaK3aaSbaaSqaaiabdQgaQbqabaGccqGGOaakcqWG0baDcqGGPaqkcqGGVaWliiGacqWFYoGydaWgaaWcbaGaeGOmaiJaemOAaOgabeaakiabcMcaPmaaCaaaleqabaGaemisaG0aaSbaaWqaaiabikdaYiabdQgaQbqabaaaaOGaeiyxa0faaa @ @ 5059 , Donde _j H ₁ y H _{2 j} son los coeficientes de Hill. Genéticos osciladores de la forma (4), por no decir peculiar. Muchos conocido sistema de modelos genéticos pueden ser representados en este formulario, como el modelo de Goodwin [24], la Represilador [25], alternar el conmutador [26], y los osciladores circadianos [27]. Sin lugar a dudas, este trabajo puede ser fácilmente generalizado para el caso de y ˙ ( t ) = Un y ( t ) + Σ j = 1 l B j f j ( y ( t ) ) MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = vr0 = vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaacuWG5bqEgaGaaiabcIcaOiabdsha0jabcMcaPiabg2da9iabdgeabjabdMha5jabcIcaOiabdsha0jabcMcaPiabgUcaRmaaqadabaGaemOqai0aaSbaaSqaaiabdQgaQbqabaGccqWGMbGzdaWgaaWcbaGaemOAaOgabeaaaeaacqWGQbGAcqGH9aqpcqaIXaqmaeaacqWGSbaBa0GaeyyeIuoakiabcIcaOiabdMha5jabcIcaOiabdsha0jabcMcaPiabcMcaPaaa @ @ 4B67 , Donde hay más de dos términos no lineales en cada ecuación del oscilador genético. Desde el punto de vista de la biología sintética, genéticos osciladores con sólo lineal, Michaelis-Menten y Hill también lo que puede ser aplicado experimentalmente.

Para evitar confusiones, dejamos que la columna j º B de _1,2 si se ceros f _{1 j 2, j} ≡ 0. Desde que f 2 j ( y j ( t ) ) = 1 1 + ( y j ( t ) / β 2 j ) H 2 j = 1 -- ( y j ( t ) / β 2 j ) H 2 j 1 + ( y j ( t ) / β 2 j ) H 2 j ≡ 1 -- g j ( y j ( t ) ) MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = vr0 = vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaacqWGMbGzdaWgaaWcbaGaeGOmaiJaemOAaOgabeaakiabcIcaOiabdMha5naaBaaaleaacqWGQbGAaeqaaOGaeiikaGIaemiDaqNaeiykaKIaeiykaKIaeyypa0ZaaSaaaeaacqaIXaqmaeaacqaIXaqmcqGHRaWkcqGGOaakcqWG5bqEdaWgaaWcbaGaemOAaOgabeaakiabcIcaOiabdsha0jabcMcaPiabc + caVGGaciab = j7aInaaBaaaleaacqaIYaGmcqWGQbGAaeqaaOGaeiykaKYaaWbaaSqabeaacqWGibasdaWgaaadbaGaeGOmaiJaemOAaOgabeaaaaaaaOGaeyypa0JaeGymaeJaeyOeI0YaaSaaaeaacqGGOaakcqWG5bqEdaWgaaWcbaGaemOAaOgabeaakiabcIcaOiabdsha0jabcMcaPiabc + caViab = j7aInaaBaaaleaacqaIYaGmcqWGQbGAaeqaaOGaeiykaKYaaWbaaSqabeaacqWGibasdaWgaaadbaGaeGOmaiJaemOAaOgabeaaaaaakeaacqaIXaqmcqGHRaWkcqGGOaakcqWG5bqEdaWgaaWcbaGaemOAaOgabeaakiabcIcaOiabdsha0jabcMcaPiabc + caViab = j7aInaaBaaaleaacqaIYaGmcqWGQbGAaeqaaOGaeiykaKYaaWbaaSqabeaacqWGibasdaWgaaadbaGaeGOmaiJaemOAaOgabeaaaaaaaOGaeyyyIORaeGymaeJaeyOeI0Iaem4zaC2aaSbaaSqaaiabdQgaQbqabaGccqGGOaakcqWG5bqEdaWgaaWcbaGaemOAaOgabeaakiabcIcaOiabdsha0jabcMcaPiabcMcaPaaa @ @ 81A7 , Y dejar que f () = f ₁ (), podemos reescribir (4) como sigue:

y ˙ MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = vr0 = vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaacuWG5bqEgaGaaaaa @ @ 2E30 (T) = Ay (t) + B ₁ f (y (t)) - B ₂ g (y (t)) + B _2. (5)

Obviamente, f _i g _i y satisfacer las condiciones del sector: 0 ≤ f i ( un ) -- f i ( b ) un -- b < k 1 i , 0 ≤ g i ( un ) -- g i ( b ) un -- b ≤ k 2 i MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = vr0 = 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 @ @ 5DDB o equivalente,

(F _i (a) - f _i (b)) [(f _i (a) - f _i (b)) - k _{1 i} (a - b)] ≤ 0, (6)

(G _i (a) - g _i (b)) [(g _i (a) - g _i (b)) - ₂ k _i (a - b)] ≤ 0,

∀ a, b ∈ R (a ≠ b), i = 1, ⋯, n,

Recordemos que Lur'e un sistema lineal es un sistema dinámico, comentarios de interconexión a una no linealidad que satisfaga a un sector condición [22]. Por lo tanto, el oscilador genético (5) puede verse como un Lur'e sistema, que pueden ser investigados mediante el uso de la fructífera Lur'e sistema de control de enfoque en la teoría.

Mediante la sustitución de la persona dinámica del oscilador genético (5) para F en la red (1), obtenemos la siguiente red de N osciladores acoplados genéticos:

d x i ( t ) = [ Un x i ( t ) + B 1 f ( x i ( t ) ) -- B 2 g ( x i ( t ) ) + B 2 + Σ j = 1 N G i j D x j ( t ) ] d t + v i ( t ) d w i ( t ) , i = 1 , ⋯ , N . ( 7 ) MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = = vr0 vr 8DBE @ @

Para esta red, tenemos el siguiente resultado:

Proposición 1: Si hay matrices P> 0, Λ ₁ = diag (λ _11, ⋯, λ 1 _n)> 0, Λ ₂ = diag (λ _21, ⋯, λ 2 n)> 0, Q ∈ R ^{n × n,} U, tal como se define supra, y un real positivo ρ constante de tal manera que la siguiente matriz de celebrar las desigualdades

[ ( 1 , 1 ) P B 1 + K 1 Λ 1 -- P B 2 + K 2 Λ 2 B 1 T P + K 1 Λ 1 -- 2 Λ 1 0 -- B 2 T P + K 2 Λ 2 0 -- 2 Λ 2 ] < 0 , ( U G ⊗ P D + U ⊗ Q ) T + ( U G ⊗ P D + U ⊗ Q ) ≤ 0 , U ⊗ P ≤ ρ I , ( 8 ) MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = = vr0 vr 981F @ @

donde (1,1) = PA + A ^T P - Q - Q + ^T ρ γ MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = vr0 = vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaadaWcaaqaaGGaciab = f8aYbqaaiab = n7aNbaaaaa @ @ 3025 I, K ₁ = diag (k _11, ⋯, k _{1 n),} K ₂ = diag (k _21, ⋯, k _{2 n).} Luego de la red (7) es la sincronización con el estocástico de perturbación de atenuación γ.

La Proposición 1 puede ser demostrado mediante la sustitución de F en S ₂ de (3) por la dinámica de (5), y utilizando el sector de condiciones (6). Los detalles se dan en el Apéndice D. Si elegimos U de antemano, las desigualdades en la matriz (8) son todos los SIAL, que son muy fáciles de verificar numéricamente [15]. Para algunos especiales G y D, podemos simplificar aún más el proceso de verificación [21, 7].

Para demostrar la eficacia de nuestros resultados teóricos, consideramos una población de N junto relojes biológicos, y el oscilador genético individual es el Represilador [25]. El Represilador es una red de tres genes, de los productos que inhiben la transcripción de unos a otros en una forma cíclica (10). En concreto, el gen lacI expresa la proteína LacI, que inhibe la transcripción del gen tetR. El producto proteico TetR, inhibe la transcripción del gen CI, el producto proteico de IC que, a su vez, inhibe la expresión de lacI, formando de esta manera un ciclo de retroalimentación negativa.

El quórum sistema de detección se utiliza para el acoplamiento fin, que se describe en [5]. El sistema logra celular a la comunicación celular a través de un mecanismo que hace uso de dos proteínas, el primero de los cuales (LuxI), bajo el control de la proteína Represilador LacI, sintetiza una pequeña molécula conocida como autoinducer (AI), que puede difundir libremente a través de la membrana celular. Cuando una segunda proteína (LuxR) se une a esta molécula, el complejo resultante se activa la transcripción lacI, tal y como se muestra en la Fig. 1. El ruido de las perturbaciones en el modelo pueden surgir tanto intracelularmente, debido a la ruidosa propiedad intrínseca del proceso de regulación de genes, y extracellularly, debido a las fluctuaciones de medio ambiente.

Para modelar el sistema, usamos _i, b _i, c _{i, i} y A, B _i, C _i para representar la dimensión de las concentraciones de los genes tetR, CI, lacI y su producto proteínas TetR, CI, LacI, respectivamente. Al igual que en [5], en el supuesto de igualdad de vida de la TetR y Luxl proteínas, sus dinámicas son idénticas, y por lo tanto, podemos utilizar la misma variable para describir las concentraciones de ambas proteínas. La concentración de AI en el interior de la célula ª i se denota por S _i. Por consiguiente, el ARNm y proteínas en la dinámica i ª células puede ser descrito en [5]:

d un i d t = -- d 1 un i + α μ + C i m , d b i d t = -- d 2 b i + α μ + Un i m , d c i d t = -- d 3 c i + α μ + B i m + k S i μ s + S i , d Un i d t = -- d 4 Un i + β 1 un i , d B i d t = -- d 5 B i + β 2 b i , d C i d t = -- d 6 C i + β 3 c i , d S i d t = -- k s 0 S i + k s 1 Un i + η ( S e -- S i ) , ( 9 ) MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = vr0 = vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaafaqadeWbbaaaaeaadaWcaaqaaiabdsgaKjabdggaHnaaBaaaleaacqWGPbqAaeqaaaGcbaGaemizaqMaemiDaqhaaiabg2da9iabgkHiTiabdsgaKnaaBaaaleaacqaIXaqmaeqaaOGaemyyae2aaSbaaSqaaiabdMgaPbqabaGccqGHRaWkdaWcaaqaaGGaciab = f7aHbqaaiab = X = j7aInaaBaaaleaacqaIZaWmaeqaaOGaem4yam2aaSbaaSqaaiabdMgaPbqabaGccqGGSaalaeaadaWcaaqaaiabdsgaKjabdofatnaaBaaaleaacqWGPbqAaeqaaaGcbaGaemizaqMaemiDaqhaaiabg2da9iabgkHiTiabdUgaRnaaBaaaleaacqWGZbWCcqaIWaamaeqaaOGaem4uam1aaSbaaSqaaiabdMgaPbqabaGccqGHRaWkcqWGRbWAdaWgaaWcbaGaem4CamNaeGymaedabeaakiabdgeabnaaBaaaleaacqWGPbqAaeqaaOGaey4kaSIae83TdGMaeiikaGIaem4uam1aaSbaaSqaaiabdwgaLbqabaGccqGHsislcqWGtbWudaWgaaWcbaGaemyAaKgabeaakiabcMcaPiabcYcaSaaacaWLjaGaaCzcamaabmaabaGaeGyoaKdacaGLOaGaayzkaaaaaa @ @ E7A4

donde m es el coeficiente de Hill, S _e indica la concentración extracelular de AI, y el significado de los otros parámetros son estándar en modelos genéticos de red. Damos por sentado que la liberación de la IA es un proceso rápido en relación con el calendario de los osciladores y se convierte en aproximadamente homogéneos para establecer un nivel promedio de IA fuera de las células. En el cuasi-estado de equilibrio aproximación, la concentración extracelular de AI puede ser aproximado por [5]

S e = Q 0 S ¯ = Q 0 N Σ j = 1 N S j , MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = vr0 = vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaacqWGtbWudaWgaaWcbaGaemyzaugabeaakiabg2da9iabdgfarnaaBaaaleaacqaIWaamaeqaaOGafm4uamLbaebacqGH9aqpdaWcaaqaaiabdgfarnaaBaaaleaacqaIWaamaeqaaaGcbaGaemOta4eaamaaqahabaGaem4uam1aaSbaaSqaaiabdQgaQbqabaaabaGaemOAaOMaeyypa0JaeGymaedabaGaemOta4eaniabggHiLdGccqGGSaalaaa @ @ 42DB

donde 0 <Q ₀ <1 es una constante. Por lo tanto, la dinámica de S _i puede ser reescrito como

d S i d t = -- [ k s 0 + ( 1 -- Q 0 ) η ] S i + k s 1 Un i + η Q 0 N Σ j = 1 N ( S j -- S i ) ( 10 ) MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = vr0 = vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaadaWcaaqaaiabdsgaKjabdofatnaaBaaaleaacqWGPbqAaeqaaaGcbaGaemizaqMaemiDaqhaaiabg2da9iabgkHiTiabcUfaBjabdUgaRnaaBaaaleaacqWGZbWCcqaIWaamaeqaaOGaey4kaSIaeiikaGIaeGymaeJaeyOeI0Iaemyuae1aaSbaaSqaaiabicdaWaqabaGccqGGPaqkiiGacqWF3oaAcqGGDbqxcqWGtbWudaWgaaWcbaGaemyAaKgabeaakiabgUcaRiabdUgaRnaaBaaaleaacqWGZbWCcqaIXaqmaeqaaOGaemyqae0aaSbaaSqaaiabdMgaPbqabaGccqGHRaWkdaWcaaqaaiab = D7aOjabdgfarnaaBaaaleaacqaIWaamaeqaaaGcbaGaemOta4eaamaaqahabaGaeiikaGIaem4uam1aaSbaaSqaaiabdQgaQbqabaGccqGHsislcqWGtbWudaWgaaWcbaGaemyAaKgabeaakiabcMcaPaWcbaGaemOAaOMaeyypa0JaeGymaedabaGaemOta4eaniabggHiLdGccaWLjaGaaCzcamaabmaabaGaeGymaeJaeGimaadacaGLOaGaayzkaaaaaa @ @ 6836

Es evidente que el modelo individual en (9) es de la forma (5), en el que f = [0, 0, 0, 0, 0, 0, S _i / (μ _s + S _i)] ^T, B ₁ es de 7 × 7 matriz con todas las entradas cero excepto para B ₁ (3, 7) = k, g = [0, 0, 0, Un i m MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = vr0 = vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaacqWGbbqqdaqhaaWcbaGaemyAaKgabaGaemyBa0gaaaaa @ @ 30A2 / (Μ + Un i m MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = vr0 = vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaacqWGbbqqdaqhaaWcbaGaemyAaKgabaGaemyBa0gaaaaa @ @ 30A2 ), B i m MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = vr0 = vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaacqWGcbGqdaqhaaWcbaGaemyAaKgabaGaemyBa0gaaaaa @ @ 30A4 / (Μ + B i m MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = vr0 = vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaacqWGcbGqdaqhaaWcbaGaemyAaKgabaGaemyBa0gaaaaa @ @ 30A4 ), C i m MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = vr0 = vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaacqWGdbWqdaqhaaWcbaGaemyAaKgabaGaemyBa0gaaaaa @ @ 30A6 / (Μ + C i m MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = vr0 = vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaacqWGdbWqdaqhaaWcbaGaemyAaKgabaGaemyBa0gaaaaa @ @ 30A6 ), 0] ^T, B ₂ es un 7 × 7 matriz con todas las entradas cero excepto para B ₂ (1,6) = B _{2 (2,} 4) = B ₂ (3, 5) = α / μ, y todos los los demás términos se encuentran en forma lineal. Obviamente, el acoplamiento plazo también puede ser escrito en la forma definida anteriormente.

El propósito de este ejemplo es demostrar la eficacia y exactitud de los resultados teóricos, en lugar de imitar el verdadero reloj biológico sistema. Consideramos que un pequeño tamaño de la red con N = 10 osciladores acoplados. Los parámetros se definen como m = 4, α = 1,8, d ₁ = d ₂ = d ₃ = 0,4, μ = 1,3, k = 5, μ _s = 5, d ₄ = d ₅ = d ₆ = 0,5, β ₁ = Β ₂ = β ₃ = 0,2, k _{s 0} = 0,016, k _{s 1} = 0,018, Q ₀ = 0,8 y η = 0,4. Desde la Proposición 1 sostiene no importa lo que v _i (t) es y no importa donde se presentó, y la verificación de la Proposición 1 es independiente de la intensidad de ruido v _i, por simplicidad, nos ponemos en v _i = 0,015 como un escalar para todas i , Y el ruido plazo v _i n _i (t) se añade a la primera ecuación en (9), donde n _i (t) es un escalar Gaussian proceso de ruido blanco. Según la Proposición 1 (dejando U = - G, y la utilización de MATLAB Toolbox LMI), sabemos que lo anterior-a todos-todos, junto red puede lograr la sincronización con el estocástico de perturbación de atenuación γ = 6. Aunque γ es un gran valor, es fácil de demostrar (2) que el tiempo promedio de E (Σ Σ _{i j} | x _i (t) - _j x (t) | ²⁾ es todavía bastante pequeño, porque v i 2 MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = vr0 = vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaacqWG2bGDdaqhaaWcbaGaemyAaKgabaGaeGOmaidaaaaa @ @ 309B es muy pequeño. Estamos omitir los detalles aquí computacional. En la Fig. 2 (a] y 2 (b], cuando a partir de los mismos valores iniciales, parcela el tiempo la evolución de las concentraciones de ARNm tetR _(i) de todos los osciladores, que los comportamientos son similares a los resultados experimentales ( véase, por ejemplo [1]]. Fig. 2 (c] muestra la sincronización de un error _i - a ₁ para i = 2, ⋯, 10.

En Definición 1, exige que todos los osciladores genéticos tienen las mismas condiciones iniciales, de modo que V (x (0)) = 0. Si la genética osciladores tienen diferentes condiciones iniciales, V (x (0)) ≠ 0, y, por tanto, (12) en el Apéndice C se sustituye por

J ( t ) ≤ E ( ∫ 0 t [ α L V ( x ( s ) ) + Σ i < j ( -- U i j ) ( x i ( s ) -- x j ( s ) ) T ( x i ( s ) -- x j ( s ) ) -- γ Σ i v i T ( s ) v i ( s ) ] d s ) + E ( V ( x ( 0 ) ) . MathType MTEF @ @ @ 5 + 5 = @ feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY = wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0 = OqFfea0dXdd9vqai = hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq = dirpe0xb9q8qiLsFr0 = vr0 = vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaacqWGkbGscqGGOaakcqWG0baDcqGGPaqkcqGHKjYOieqacqWFfbqrcqGG7bWEdaWdXaqaaiabcUfaBHGaciab + 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 + n7aNnaaqababaGaemODay3aa0baaSqaaiabdMgaPbqaaiabdsfaubaakiabcIcaOiabdohaZjabcMcaPiabdAha2naaBaaaleaacqWGPbqAaeqaaOGaeiikaGIaem4CamNaeiykaKIaeiyxa0LaemizaqMaem4CamhaleaacqWGPbqAaeqaniabggHiLdaaleaacqWGPbqAcqGH8aapcqWGQbGAaeqaniabggHiLdGccqGG9bqFcqGHRaWkcqWFfbqrcqGGOaakcqWGwbGvcqGGOaakcqWG4baEcqGGOaakcqaIWaamcqGGPaqkcqGGPaqkcqGGUaGlaaa @ @ 956D

Dado que en redes genéticas, las variables generalmente representan las concentraciones de mRNAs, proteínas y químicos complejos, que son de (no tan grande) los valores limitado, por lo que es V (x (0)). Durante mucho tiempo escala, el último término de lo anterior es la desigualdad suele ser mucho menor que el valor absoluto del primer término en el lado derecho, y, por tanto, el último término puede ser ignorado más o menos. En la Fig. 3, se presenta la misma como los cálculos en la Fig. 2, excepto que los osciladores están con diferentes valores iniciales (al azar en el rango (0, 1)). Después de un período de evolución, la red de comportamientos son similares a las que en la Fig. 2, que verifica por encima de nuestro argumento. En otras palabras, rigurosamente, de acuerdo con Definición 1, es necesario que todos los osciladores tienen las mismas condiciones iniciales, pero en la práctica, para osciladores con diferentes condiciones iniciales, podemos obtener casi los mismos resultados.

A efectos de comparación, en la Fig. 4 mostramos los resultados de la simulación de una red sin las perturbaciones de ruido. Como podemos concluir de Higos. 2, 3, 4, las redes con el ruido de perturbación, aunque no puede lograr la sincronización perfecta, puede, en efecto, lograr la sincronización con el pequeño error de fluctuación, y la red de comportamientos son similares a los de las redes sin las perturbaciones de ruido.

Además de proporcionar una condición suficiente para el estocástico de sincronización, la Proposición 1 también se puede utilizar para el diseño de redes de oscilador genético, que es un subproducto de los principales resultados. From the synthetic biology viewpoint, to minimize the influence of the noises (on the synchronization), we can design genetic oscillator networks according to the following rule:

min γ , such that the LMIs (8) hold,    (11)

which is obviously from the above theoretical result. This is similar to the H _∞ synthesis problem in control theory.

In this paper, we presented a general theoretical method for analyzing the stochastic synchronization of coupled genetic oscillators based on systems biology approach. By taking the specific structure of genetic systems into account, a sufficient condition for the stochastic synchronization was derived based on LMI formalism, which can be easily verified numerically. Although the method and results are presented for genetic oscillator networks, it is also applicable to other dynamical systems. In coupled genetic oscillator networks, since there is a maximal activity of fully active promoters, it is more realistic to consider a Michaelis-Menten form of the coupling terms. As argued in [ 7 ], our theoretical method is also applicable to this case. To make the theoretical method more understandable and to avoid unnecessarily complicated notation, we discussed only on some simplified forms of the genetic oscillators, but more general cases regarding this topic can be studied in a similar way. For example: (I) The genetic oscillator model (5) can be generalized to more general case such that f _i , g _i , the component of f ( y ( t )), g ( y ( t )), are functions of y ( t ), not only of y _i ( t ), and f and g can also be of non-Hill form, provided that 0 ≤ f i ( un ) -- f i ( b ) c 1 i T ( un -- b ) ≤ k 1 i , 0 ≤ g i ( un ) -- g i ( b ) c 2 i T ( un -- b ) ≤ k 2 i MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY=wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqai=hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq=dirpe0xb9q8qiLsFr0=vr0=vr@6BF6@ , ∀ a , b ∈ R ⁿ ( a ≠ b ), i = 1, ⋯ , n , where c _{1 i} , c _{2 i} ∈ R ⁿ are real vectors. (II) Biologically, the genetic oscillators are usually nonidentical. We can consider genetic networks with both parametric mismatches and stochastic perturbations in similar ways as those presented in this paper and [ 7 ]. (III) There are significant time delays in the gene regulation, due to the slow processes of transcription, translation and translocation. Our result can be easily extended to the case that there are delays both in the coupling and the individual genetic oscillators.

As we know, noises can play both beneficial and harmful roles (for synchronization) in biological systems. For the latter case, the noise is a kind of perturbation, and it is interesting to study the robustness of the synchronization with respect to noise. In this paper, we addressed this question. For the former case, in [ 13 , 14 ], the authors studied the mechanisms of noise-induced synchronization.

To simulate the stocahstic differential equaiton x ˙ MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY=wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqai=hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq=dirpe0xb9q8qiLsFr0=vr0=vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaacuWG4baEgaGaaaaa@2E2E@ ( t ) = f ( x ) + g ( x ) ξ ( t ), the well-known Euler-Maruyama scheme is most frequently used, which is also used in this paper. In this scheme, the numerical trajectory is generated by x _{n +1} = x _n + hf ( x _n ) + h MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY=wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqai=hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq=dirpe0xb9q8qiLsFr0=vr0=vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaadaGcaaqaaiabdIgaObWcbeaaaaa@2E20@ g ( x _n ) η _n , where h is the time step and η _n is a discrete time Gaussian white noise with &lt; η _n &gt;= 0 and &lt; η _n η _m &gt; = δ _nm . For more details, see eg [ 18 ].

Throughout this paper, A ^T denotes the transpose of a square matrix A . The notation M &gt; (&lt;) 0 is used to define a real symmetric positive definite (negative definite) matrix. R ^m denotes the m -dimensional Euclidean space; and R ^{n × m} denotes the set of all n × m real matrices. In this paper, if not explicitly stated, matrices are assumed to have compatible dimensions. E (·) denotes the expectation operator; L ₂ [0, ∞) is the space of square-integrable vector functions over [0, ∞); |·| stands for the Euclidean vector norm, and ||·|| ₂ stands for the usual L ₂ [0, ∞) norm. The Kronecker product A ⊗ B of an n × m matrix A and a p × q matrix B is the np × mq matrix defined as

Un ⊗ B = [ Un 11 B ⋯ Un 1 m B ⋮ ⋱ ⋮ Un n 1 B ⋯ Un n m B ] . MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY=wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqai=hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq=dirpe0xb9q8qiLsFr0=vr0=vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaacqWGbbqqcqGHxkcXcqWGcbGqcqGH9aqpdaWadaqaauaabeqadmaaaeaacqWGbbqqdaWgaaWcbaGaeGymaeJaeGymaedabeaakiabdkeacbqaaiabl+UimbqaaiabdgeabnaaBaaaleaacqaIXaqmcqWGTbqBaeqaaOGaemOqaieabaGaeSO7I0eabaGaeSy8I8eabaGaeSO7I0eabaGaemyqae0aaSbaaSqaaiabd6gaUjabigdaXaqabaGccqWGcbGqaeaacqWIVlctaeaacqWGbbqqdaWgaaWcbaGaemOBa4MaemyBa0gabeaakiabdkeacbaaaiaawUfacaGLDbaacqGGUaGlaaa@50F3@

For a general stochastic systems

dx = f ( t , x ( t )) dt + g ( x ( t )) dw ( t ),

the diffusion operator L acting on Y ( t , x ( t )) is defined by

LY ( t , x ( t )) = Y _t ( t , x ( t )) + Y _x ( t , x ( t )) f ( t , x ( t )) + 1 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY=wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqai=hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq=dirpe0xb9q8qiLsFr0=vr0=vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaadaWcaaqaaiabigdaXaqaaiabikdaYaaaaaa@2E9E@ trace[ g ( x ( t )) g ^T ( x ( t )) Y _xx ( t , x ( t ))].

For network (1), a natural attempt is to study the mean-square asymptotic synchronization. Analogue to the definition of mean-square stability [ 19 ], we can define the mean-square synchronization as follows:

Definition A1 : The network (1) is said to be mean-square synchronous if for every ε &gt; 0, there is a δ ( ε ) &gt; 0, such that E | x i ( t ) -- x j ( t ) | t > 0 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY=wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqai=hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq=dirpe0xb9q8qiLsFr0=vr0=vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaaieqacqWFfbqrdaabdaqaaiabdIha4naaBaaaleaacqWGPbqAaeqaaOGaeiikaGIaemiDaqNaeiykaKIaeyOeI0IaemiEaG3aaSbaaSqaaiabdQgaQbqabaGccqGGOaakcqWG0baDcqGGPaqkaiaawEa7caGLiWoadaqhaaWcbaGaemiDaqNaeyOpa4JaeGimaadabaGaeGOmaidaaaaa@42B6@ &lt; ε for | x _i (0) - x _j (0)| &lt; δ ( ε ), ∀ i , j . If in addition, lim _{t →∞} E | x _i ( t ) - x _j ( t )| ² = 0 for all initial conditions, the network is said to be mean square asymptotically synchronous.

In analyzing the synchronization of the network (1), we use the Lyapunov function V ( x ( t )) = x ^T ( t )( U ⊗ P ) x ( t ) [ 21 ], where ⊗ is the Kronecker product, and x ( t ) = [ x 1 T ( t ) , ⋯ , x n T ( t ) ] T ∈ R N n × 1 MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY=wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqai=hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq=dirpe0xb9q8qiLsFr0=vr0=vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaacqWG4baEcqGGOaakcqWG0baDcqGGPaqkcqGH9aqpcqGGBbWwcqWG4baEdaqhaaWcbaGaeGymaedabaGaemivaqfaaOGaeiikaGIaemiDaqNaeiykaKIaeiilaWIaeS47IWKaeiilaWIaemiEaG3aa0baaSqaaiabd6gaUbqaaiabdsfaubaakiabcIcaOiabdsha0jabcMcaPiabc2faDnaaCaaaleqabaGaemivaqfaaOGaeyicI4SaemOuai1aaWbaaSqabeaacqWGobGtcqWGUbGBcqGHxdaTcqaIXaqmaaaaaa@50B0@ . According to [ 21 ], this Lyapunov function is equivalent to V ( x ( t )) = ∑ _{i &lt; j} (- U _ij )( x _i ( t ) - x _j ( t )) ^T P ( x _i ( t ) - x _j ( t )).

By It ô &#39;s formula [ 19 ], we obtain the following stochastic differential along (1)

dV ( x ( t )) = LV ( x ( t )) dt + 2 x ^T ( t )( U ⊗ P ) v ( t ) dw ( t )

where v ( t ) = diag( v ₁ , ⋯, v _N ) ∈ R ^{Nn × N} , L is the diffusion operator, and

LV ( x ( t )) = 2∑ _{i &lt; j} (- U _ij )( x _i - x _j ) ^T P [ F ( x _i ) - F ( x _j ) - T ( x _i - x _j )]

+ 2 x ^T ( t )( U ⊗ P )( G ⊗ D + I ⊗ T ) x ( t )

+ trace( v ( t ) v ^T ( t )( U ⊗ P ))

We discuss two special cases of the stochastic terms:

1. The genetic oscillators are perturbed by the same noise, which can occur in the situation that genetic oscillators communicate via a common environment. In this case, v _i d _wi are the same for all i . We let [ v = [ v i T , ⋯ , v N T ] T MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY=wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqai=hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq=dirpe0xb9q8qiLsFr0=vr0=vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaacqWG2bGDcqGH9aqpcqGGBbWwcqWG2bGDdaqhaaWcbaGaemyAaKgabaGaemivaqfaaOGaeiilaWIaeS47IWKaeiilaWIaemODay3aa0baaSqaaiabd6eaobqaaiabdsfaubaakiabc2faDnaaCaaaleqabaGaemivaqfaaaaa@3EED@ ] and dw = dw _i Since U is a matrix with zero row sums and v _i is the same for all i , it is easy to show that the last term of LV is zero. Thus if the following conditions hold, we will have E [ dV ( x ( t ))] = E [ LV ( x ( t )) dt ] &lt; 0.

( y ₁ - y ₂ ) ^T P [ F ( y ₁ ) - F ( y ₂ ) - T ( y ₁ - y ₂ )] &lt; 0,

∀ y ₁ , y ₂ ∈ R ⁿ ( y ₁ ≠ y ₂ )

( U ⊗ P )( G ⊗ D + I ⊗ T ) + ( G ⊗ D + I ⊗ T ) ^T ( U ⊗ P ) ≤ 0.

Hence, if there are matrices P &gt; 0, T ∈ R ^{n × n} and U , such that the above conditions hold, the network (1) will achieve mean-square asymptotically synchronization. In this case, roughly speaking, the noise will not affect the synchronous state (since they are common for all oscillators), but it will affect the individual oscillator dynamics.

2. The noise intensity matrix v _i is a function of ∑ _j G _ij D _xj , which means that if there is no coupling from oscillator j to i , then j does not have contribution to the perturbation of oscillator i . We further assume that v _i can be estimated by

v i T v i ≤ [ Σ j G i j D x j ( t ) ] T H i [ Σ j G i j D x j ( t ) ] , H i ≥ 0. MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY=wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqai=hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq=dirpe0xb9q8qiLsFr0=vr0=vr@63E3@

Defining v = diag( v ₁ , ⋯, v _N ) ∈ R ^{Nn × N} , w ( t ) = [ w ₁ ( t ), ⋯, w _N ( t )] ^T , and H = diag( H ₁ , ⋯, H _N ), and assuming U ⊗ P ≤ ρI , we have

trace( v ( t ) v ^T ( t )( U ⊗ P )) ≤ λ _max ( U ⊗ P )trace( v ( t ) v ^T ( t ))

≤ ρ ∑ _i v i T MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY=wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqai=hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq=dirpe0xb9q8qiLsFr0=vr0=vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaacqWG2bGDdaqhaaWcbaGaemyAaKgabaGaemivaqfaaaaa@30DA@ ( t ) v _i ( t )

≤ ρx ^T ( t ) ( G ⊗ D ) ^T H ( G ⊗ D ) x ( t ).

So, the conditions for the mean-square asymptotically synchronization of the network (1) in this case are

( y ₁ - y ₂ ) ^T P [ F ( y ₁ ) - F ( y ₂ ) - T ( y ₁ - y ₂ )] &lt; 0,

∀ y ₁ , y ₂ ∈ R ⁿ ( y ₁ ≠ y ₂ )

( U ⊗ P )( G ⊗ D + I ⊗ T ) + ( G ⊗ D + I ⊗ T ) ^T ( U ⊗ P ) + ρ ( G ⊗ D ) ^T H ( G ⊗ D ) ≤ 0,

U ⊗ P ≤ ρI .

If we consider genetic oscillators of the form of (5), the conditions for the mean-square asymptotically synchronization can be analyzed by the same method as that in the following Appendix D.

From Definition Al, we know that the definition of the mean-square asymptotically synchronization is rather restrictive, which requires that lim _{t →∞} E | x _i ( t ) - x _j ( t )| ² = 0, ∀ i , j . If it is neither of the above two cases, that is neither V _i d _wi are the same for all i , nor v _i (∀ i ) reduce to zero when x ₁ = ⋯ = x _n , the network is hardly to achieve mean-square asymptotically synchronization. Experimental results also show that usually the genetic oscillators can not achieve mean-square synchronization (see for example [ 1 ]). So, we argue that the study of mean-square synchronization is unrealistic (and therefore meaningless) in genetic networks.

In Ref. [ 28 ], the authors studied the mean-square asymptotic synchronization of two master-slave coupled Chua's circuits. They assume that the noise intensity depends on the difference of the states of the two systems, which is also somewhat unrealistic.

To obtain the general synchronization condition (3) of the network (1), we also use the Lyapunov function V ( x ( t )) = x ^T ( t )( U ⊗ P ) x ( t ). By It ô s formula [ 19 ], we obtain the stochastic differential dV ( x ( t )) = LV ( x ( t )) dt + 2 x ^T ( t )( U ⊗ P ) v ( t ) dw ( t ). According to Definition 1, we assume that the oscillators have the same initial conditions, thus we can derive E ( V ( x ( t )) = ( ∫ 0 t L V ( x ( s ) ) d s ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY=wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqai=hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq=dirpe0xb9q8qiLsFr0=vr0=vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaadaqadaqaamaapedabaGaemitaWKaemOvayfaleaacqaIWaamaeaacqWG0baDa0Gaey4kIipakiabcIcaOiabdIha4jabcIcaOiabdohaZjabcMcaPiabcMcaPiabdsgaKjabdohaZbGaayjkaiaawMcaaaaa@3E29@ . For γ &gt; 0, we define

J ( t ) = E { ∫ 0 t [ Σ i < j ( -- U i j ) ( x i ( s ) -- x j ( s ) ) T ( x i ( s ) -- x j ( s ) ) -- γ Σ i v i T ( s ) v i ( s ) ] d s } ( 12 ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY=wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqai=hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq=dirpe0xb9q8qiLsFr0=vr0=vr+n7aNnaaqafabaGaemODay3aa0baaSqaaiabdMgaPbqaaiabdsfaubaakiabcIcaOiabdohaZjabcMcaPiabdAha2naaBaaaleaacqWGPbqAaeqaaOGaeiikaGIaem4CamNaeiykaKIaeiyxa0LaemizaqMaem4CamNaeiyFa0haleaacqWGPbqAaeqaniabggHiLdGccaWLjaGaaCzcamaabmaabaGaeGymaeJaeGOmaidacaGLOaGaayzkaaaaaa@8423@

Then, it is easy to show that for α &gt; 0,

J ( t ) ≤ E { ∫ 0 t [ α L V ( x ( s ) )+ Σ i < j ( -- U i j ) ( x i ( s ) -- x j ( s ) ) T ⋅ ( x i ( s ) -- x j ( s ) ) -- γ Σ i v i T ( s ) v i ( s ) ] d s } ≡ E { ∫ 0 t S 1 ( s ) d s } . ( 13 ) MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY=wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqai=hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq=dirpe0xb9q8qiLsFr0=vr0=vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeGaeiatciaUciasdeaLluaabmqadeaaaeaacqWGkbGscqGGOaakcqWG0baDcqGGPaqkcqGHKjYOieqacqWFfbqrcqGG7bWEdaWdXaqaaiabcUfaBHGaciab+f@A8AB@

Assuming U ⊗ P ≤ ρI , and letting α = γ/ρ , we have

S 1 ≡ γ ρ { 2 Σ i < j ( -- U i j ) ( x i ( t ) -- x j ( t ) ) T ⋅ P [ M ( x i ( t ) ) -- M ( x j ( t ) ) -- T ( x i ( t ) -- x j ( t ) ) ] + 2 x T ( t ) ( U ⊗ P ) ( G ⊗ D + I ⊗ T ) x ( t ) + trace ( v ( t ) v T ( t ) ( U ⊗ P ) ) + ρ γ Σ i < j ( -- U i j ) ( x i ( t ) -- x j ( t ) ) T ( x i ( t ) -- x j ( t ) ) -- ρ Σ i v i T ( t ) v i ( t ) } ≤ γ ρ { Σ i < j ( -- U i j ) [ 2 ( x i ( t ) -- x j ( t ) ) T ⋅ P ( M ( x i ) -- M ( x j ) -- T ( x i -- x j ) ) + ρ γ ( x i ( t ) -- x j ( t ) ) T ( x i ( t ) -- x j ( t ) ) ] + 2 x T ( t ) ( U ⊗ P ) ( G ⊗ D + I ⊗ T ) x ( t ) } . MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY=wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqai=hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq=dirpe0xb9q8qiLsFr0=vr0=vr0dc8meaabaqaciaacaGaaeqabaqabeGadaaakeaafaqadeGcdaaaaaqaaiabdofatnaaBaaaleaacqaIXaqmaeqaaaGcbiqaaSWbcqGHHjIUaeaadaWcaaqaaGGaciab=n7aNbqaaiab=f=n7aNbqaaiab=f@8141@

If E ( S ₁ ) &lt; 0, we will have J ( t ) &lt; 0, and thus, (2) follows immediately from (3).

Proposition 1 can be proved by replacing F in S ₂ of (3) by the dynamics of (5), and using the sector conditions (6). We have

S 2 ≡ 2 ( y 1 ( t ) -- y 2 ( t ) ) T P [ ( Un -- T ) ( y 1 ( t ) -- y 2 ( t ) ) + B 1 ( f ( y 1 ( t ) ) -- f ( y 2 ( t ) ) ) -- B 2 ( g ( y 1 ( t ) ) -- g ( y 2 ( t ) ) ) ] + ρ γ ( y 1 ( t ) -- y 2 ( t ) ) T ( y 1 ( t ) -- y 2 ( t ) ) ≤ 2 ( y 1 ( t ) -- y 2 ( t ) ) T P ( Un -- T ) ( y 1 ( t ) -- y 2 ( t ) ) + ρ γ ( y 1 ( t ) -- y 2 ( t ) ) T ( y 1 ( t ) -- y 2 ( t ) ) + 2 ( y 1 ( t ) -- y 2 ( t ) ) T P B 1 ( f ( y 1 ( t ) ) -- f ( y 2 ( t ) ) ) -- 2 ( y 1 ( t ) -- y 2 ( t ) ) T P B 2 ( g ( y 1 ( t ) ) -- g ( y 2 ( t ) ) ) -- 2 Σ l = 1 n λ 1 l ( f l ( y 1 l ( t ) ) -- f l ( y 2 l ( t ) ) ) ⋅ [ ( f l ( y 1 l ( t ) ) -- f l ( y 2 l ( t ) ) ) -- k 1 ( y 1 l ( t ) -- y 2 l ( t ) ) ] -- 2 Σ l = 1 n λ 2 l ( g l ( y 1 l ( t ) ) -- g l ( y 2 l ( t ) ) ) ⋅ [ ( g l ( y 1 l ( t ) ) -- g l ( y 2 l ( t ) ) ) -- k 2 ( y 1 l ( t ) -- y 2 l ( t ) ) ] . MathType@MTEF@5@5@+=feaafiart1ev1aaatCvAUfKttLearuWrP9MDH5MBPbIqV92AaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8akY=wiFfYdH8Gipec8Eeeu0xXdbba9frFj0=OqFfea0dXdd9vqai=hGuQ8kuc9pgc9s8qqaq=dirpe0xb9q8qiLsFr0=vr0=vr=f8aYbqaaiab=n=T@F8F6@

By letting Q = PT and denoting the first matrix in (8) by M ₁ , we have S ₂ ≤ ξ ( t ) M ₁ ξ ( t ) &lt; 0 for all y ₁ , y ₂ except for y ₁ = y ₂ , where ξ ( t ) = [( y ₁ ( t ) - y ₂ ( t )) ^T , ( f ( y ₁ ( t ) - f ( y ₂ ( t ))) ^T , ( g ( y ₁ ( t ) - g ( y ₂ ( t ))) ^T ] ^T ∈ R ^{3 n × 1} . So, the first condition in (3) is satisfied. Substituting Q = PT , the second inequality in (3) is equivalent to the second inequality in (8). Thus, Proposition 1 is proved.

CL gave the topic, developed theoretical results, designed the numerical experiments, analyzed the data, contributed materials/analysis tools. CL, LC and KA wrote the paper.